Χρήστης:Projethomere/πρόχειρο

en:American Mathematical Society

en:External ray Εξωτερική ακτίνα Πύλη:Μαθηματικά
Διεθνής Μαθηματική Ένωση

en:Complete intersection ring Πλήρης δακτύλιος διατομής

Νέο θέμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην αντιμεταθετική άλγεβρα, ένας πλήρης δακτύλιος διατομής^[1]^[2] είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος παρόμοιος με τους δακτυλίους συντεταγμένων των ποικιλιών που είναι πλήρεις τομές. Ανεπίσημα, μπορούν να θεωρηθούν περίπου ως οι τοπικοί δακτύλιοι που μπορούν να οριστούν χρησιμοποιώντας τον "ελάχιστο δυνατό" αριθμό σχέσεων.

Για τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους, υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:

   Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος ⊃ δακτύλιοι Κοέν-Μακολέι ⊃ δακτύλιοι Γκόρενσταϊν ⊃ πλήρεις δακτύλιοι διατομής ⊃ κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι

Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένας τοπικός πλήρης δακτύλιος διατομής είναι ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος του οποίου η ολοκλήρωση είναι το πηλίκο ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου προς ένα ιδεώδες που παράγεται από μια κανονική ακολουθία. Η συνεκτίμηση της ολοκλήρωσης αποτελεί μια μικρή τεχνική επιπλοκή λόγω του γεγονότος ότι δεν είναι όλοι οι τοπικοί δακτύλιοι πηλίκα κανονικών δακτυλίων. Για τους δακτυλίους που είναι πηλίκα κανονικών τοπικών δακτυλίων, οι οποίοι καλύπτουν τους περισσότερους από τους τοπικούς δακτυλίους που εμφανίζονται στην αλγεβρική γεωμετρία, δεν είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψιν οι συμπληρώσεις στον ορισμό.^[3]

Υπάρχει ένας εναλλακτικός εσωτερικός ορισμός που δεν εξαρτάται από την ενσωμάτωση του δακτυλίου σε έναν κανονικό τοπικό δακτύλιο. Αν ο R είναι ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με μέγιστο ιδεώδες m, τότε η διάσταση του m/m² ονομάζεται διάσταση ενσωμάτωσης dim (R) του R. Ορίζουμε μια βαθμωτή άλγεβρα H(R) ως την ομολογία του μιγαδικού Κοσζούλ ως προς ένα ελάχιστο σύστημα γεννητόρων του m/m²;- μέχρι ισομορφισμού αυτό εξαρτάται μόνο από τον R και όχι από την επιλογή των γεννητόρων του m. Η διάσταση τηςH₁(R) συμβολίζεται με ε₁ και ονομάζεται πρώτη απόκλιση του R- εξαφανίζεται αν και μόνο αν ο R είναι κανονικός. Ένας τοπικός δακτύλιος Ναιτεριανός ονομάζεται πλήρης δακτύλιος διατομής αν η διάσταση της ενσωμάτωσής του είναι το άθροισμα της διάστασης και της πρώτης απόκλισης:

emb dim(R) = dim(R) + ε₁(R).

Υπάρχει επίσης ένας αναδρομικός χαρακτηρισμός των τοπικών δακτυλίων πλήρους διατομής που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ορισμός, ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι ο R είναι ένας πλήρης Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος. Αν ο R έχει διάσταση μεγαλύτερη του 0 και το x είναι ένα στοιχείο στο μέγιστο ιδεώδες που δεν είναι μηδενικός διαιρέτης τότε ο R είναι ένας πλήρης δακτύλιος τομής αν και μόνο αν ο R/(x) είναι. (Αν το μέγιστο ιδεώδες αποτελείται εξ ολοκλήρου από μηδενικούς διαιρέτες τότε το R δεν είναι πλήρης δακτύλιος τομής). Αν ο R έχει διάσταση 0, Wiebe (1969) τότε έδειξε ότι είναι πλήρης δακτύλιος διατομής αν και μόνο αν το ιδεώδες προσαρμογής του μέγιστου ιδανικού του είναι μη μηδενικό..

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι είναι πλήρεις δακτύλιοι τομής, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει: ο δακτύλιος $k[x]/(x^{2})$ είναι ένας 0-διάστατος πλήρης δακτύλιος τομής που δεν είναι κανονικός.^[4]

Δεν είναι πλήρης διατομή[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το παράδειγμα ενός τοπικά πλήρους δακτυλίου διατομής που δεν είναι πλήρης δακτύλιος διατομής δίνεται από τον $k[x,y]/(y-x^{2},x^{3})$ ο οποίος έχει μήκος 3 αφού είναι ισομορφικός ως διανυσματικός χώρος $k$ με τον $k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot x^{2}$ .^[5]

Αντιπαράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι τοπικοί δακτύλιοι πλήρους διατομής είναι δακτύλιοι Γκόρενσταϊν, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει: ο δακτύλιος $k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I$ είναι ένας 0-διάστατος δακτύλιος Γκόρενσταϊν που δεν είναι δακτύλιος πλήρους διατομής. Ως διανυσματικός χώρος $k$ αυτός ο δακτύλιος είναι ισομορφικός με τον

{\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}

, where

R_{0}=k\cdot 1,R_{1}=k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot z

, and

R_{2}=k\cdot z^{2}

δείχνοντας ότι είναι Γκορένσταϊν, αφού η συνιστώσα του ανώτατου βαθμού έχει διάσταση $1$ και ικανοποιεί την ιδιότητα Πουανκαρέ. Δεν είναι ένας τοπικός πλήρης δακτύλιος διατομής επειδή το ιδανικό $I\subset R$ δεν είναι $R$ -κανονικό. Παραδείγματος χάριν, το $xy$ είναι μηδενικός διαιρέτης του $x$ στο $R/(x^{2},y^{2})$ .

Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, , ISBN 978-0-521-41068-7, https://books.google.com/books?id=LF6CbQk9uScC
Majadas, Javier· Rodicio, Antonio G. (2010). Smoothness, Regularity and Complete Intersection. Cambridge University Press. ISBN 9781139107181.
Tate, John (1957), «Homology of Noetherian rings and local rings», Illinois Journal of Mathematics 1: 14–27, ISSN 0019-2082, http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255378502
Wiebe, Hartmut (1969), «Über homologische Invarianten lokaler Ringe», Mathematische Annalen 179: 257–274, doi:10.1007/BF01350771, ISSN 0025-5831

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Regular ring (in commutative algebra)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Commutative Ring Theory
Rings Close to Regular
Modules over Commutative Regular Rings

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ «isCI -- whether the ring is complete intersection». macaulay2.com. Ανακτήθηκε στις 17 Μαΐου 2024.
↑ Huneke, Craig (1985-08). «Criteria for Complete Intersections» (στα αγγλικά). Journal of the London Mathematical Society s2-32 (1): 19–30. doi:10.1112/jlms/s2-32.1.19. http://doi.wiley.com/10.1112/jlms/s2-32.1.19.
↑ «Characterizing local rings via complete intersection homological dimensions - Hacettepe Journal of Mathematics & Statistics».
↑ «Intersection Theory in Algebraic Geometry» (PDF).
↑ «Example of locally complete intersection varieties which are not smooth and not complete intersection». MathOverflow. Ανακτήθηκε στις 4 Ιανουαρίου 2017.

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:10.1017/S0027763000000076, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769
Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, New York-London: Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons ; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) (ISBN 0-88275-228-6)

[[Κατηγορία:Αλγεβρική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων] [[Κατηγορία:Αντιμεταθετική άλγεβρα]

[[Κατηγορία:Θεωρία δακτυλίων] [[Κατηγορία:Βελτιστοποίηση] [[Κατηγορία:Διαφορική γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Περιοχές των μαθηματικών] [[Κατηγορία:Διάσταση] [[Κατηγορία:Γενική τοπολογία]

[[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά] [[Κατηγορία:Ειδικές συναρτήσεις] [[Κατηγορία:Ζήτα και L-συναρτήσεις]

[[Κατηγορία:Μαθηματικοί οργανισμοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικά] [[Κατηγορία:Άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά]

[[Κατηγορία:Καναδοί μαθηματικοί]

[[Κατηγορία:Πίνακες (μαθηματικά)] [[Κατηγορία:Γραμμική άλγεβρα] [[Κατηγορία:Διακριτή γεωμετρία]

[[Κατηγορία:Φράκταλ] [[Κατηγορία:Δυναμικά συστήματα] [[Κατηγορία:Πληροφοριακά συστήματα]

{{authority control} {{Portal bar|Βιογραφίες|Μαθηματικά} {{DEFAULTSORT:Νονικοφ, Σεργκει} [[Κατηγορία:Βραβεία μαθηματικών] [[Κατηγορία:Αναλυτική γεωμετρία] [[Κατηγορία:Ρώσοι μαθηματικοί] [[Κατηγορία:Μαθηματικοί του 19ου αιώνα]

[[Κατηγορία:Γάλλοι χημικοί] [[Κατηγορία:Βραβεία Νόμπελ] [[Κατηγορία:Βραβευμένοι με Νόμπελ Φυσικής]