Δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ
Στα μαθηματικά, ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ[1] είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με ορισμένες από τις αλγεβρο-γεωμετρικές ιδιότητες μιας ομαλής ποικιλίας, όπως η τοπική ισοδιάσταση. Κάτω από ήπιες υποθέσεις, ένας τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ ακριβώς όταν είναι ένα πεπερασμένα παραγόμενο ελεύθερο module πάνω σε έναν κανονικό τοπικό υποδακτύλιο. Οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ παίζουν κεντρικό ρόλο στην αντιμεταθετική άλγεβρα: αποτελούν μια πολύ ευρεία κατηγορία, και παρόλα αυτά είναι καλά κατανοητοί με πολλούς τρόπους.
Πήραν το όνομά τους από τον Φράνσις Σάουερμπι Μακόλεϊ (1916), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για πολυωνυμικούς δακτυλίους, και από τον Ίρβιν Κοέν (1946), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα της μη-συνδυαστικότητας για τυπικούς δακτυλίους δυναμοσειρών. Όλοι οι δακτύλιοι Κοέν-Μακόλεϊ έχουν την ιδιότητα της μη ανάμειξης.
Για τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους, υπάρχει η ακόλουθη αλυσίδα εγκλεισμάτων:
Καθολικά Αλυσοειδής δακτύλιος ⊃ δακτύλιοι Κοέν-Μακολέι ⊃ δακτύλιοι Γκόρενσταϊν ⊃ πλήρεις δακτύλιοι διατομής ⊃ κανονικοί τοπικοί δακτύλιοι
Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Για έναν αντιμεταθετικό Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο R, ένα πεπερασμένο (δηλ. πεπερασμένα παραγόμενο) R-module είναι ένα Κοέν-Μακόλεϊ module αν (γενικά έχουμε: , βλέπε τύπο Αουσλάντερ-Μπούχσμπαουμ για τη σχέση μεταξύ depth και dim ενός συγκεκριμένου είδους ενοτήτων). Από την άλλη πλευρά, ο είναι ένα module στον εαυτό του, οπότε ονομάζουμε τον δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ ως -module. Ένα μέγιστο module Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ M τέτοιο ώστε .[2]
Ο παραπάνω ορισμός αφορούσε τους Ναιτεριανούς τοπικούς δακτυλίους. Μπορούμε όμως να επεκτείνουμε τον ορισμό για έναν πιο γενικό Ναιτεριανό δακτύλιο: Αν είναι ένας αντιμεταθετικός Ναιτεριανός δακτύλιος, τότε ένα R-module M ονομάζεται Κοέν-Μακόλεϊ module αν είναι ένα Κοέν-Μακόλεϊ module για όλα τα μέγιστα ιδεώδη . (Αυτό είναι ένα είδος κυκλικού ορισμού, εκτός αν ορίσουμε τις μηδενικές ενότητες ως Κοέν-Μακόλεϊ. Οπότε ορίζουμε τις μηδενικές ενότητες ως ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ σε αυτόν τον ορισμό). Τώρα, για να ορίσουμε τις μέγιστες ενότητες Κοέν-Μακόλεϊ για αυτούς τους δακτυλίους, απαιτούμε ο να είναι μια τέτοια -ενότητα για κάθε μέγιστο ιδεώδες του R. Όπως και στην τοπική περίπτωση, το R είναι ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ αν είναι ένα module Κοέν-Μακόλεϊ (ως ένα -module στον εαυτό του).[3]
Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Οι Ναιτεριανοί δακτύλιοι των ακόλουθων τύπων είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
- Κάθε κανονικός τοπικός δακτύλιος. Αυτό οδηγεί σε διάφορα παραδείγματα δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, όπως οι ακέραιοι , ή ένας πολυωνυμικός δακτύλιος πάνω από ένα πεδίο K, ή ένας δακτύλιος δυναμοσειρών . Με γεωμετρικούς όρους, κάθε κανονικό σχήμα, παραδείγματος χάριν μια ομαλή ποικιλία πάνω σε ένα πεδίο, είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
- Κάθε δακτύλιος 0 διαστάσεων (ή ισοδύναμα, κάθε δακτύλιος Artinian).
- Κάθε 1-διάστατος μειωμένος δακτύλιος, παραδείγματος χάριν κάθε 1-διάστατη περιοχή.
- Κάθε 2-διάστατος κανονικός δακτύλιος.
- Κάθε δακτύλιος Γκορένσταϊν. Ειδικότερα, οποιοσδήποτε πλήρης δακτύλιος τομής.
- Ο δακτύλιος των αναλλοίωτων όταν R είναι μια άλγεβρα Κοέν-Μακόλεϊ πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν και G είναι μια πεπερασμένη ομάδα (ή γενικότερα, μια γραμμική αλγεβρική ομάδα της οποίας η συνιστώσα ταυτότητας είναι αναγωγική). Αυτό είναι το θεώρημα Χόχστερ - Ρόμπερτς.
- Οποιοσδήποτε ντετερμινάνταλ δακτύλιος. Δηλαδή, έστω R το πηλίκο ενός κανονικού τοπικού δακτυλίου S προς το ιδεώδες I που παράγεται από τα r × r ελάσσονες κάποιου p × q πίνακα στοιχείων του S. Αν η κωδικομέτρηση (ή το ύψος) του I είναι ίση με την "αναμενόμενη" κωδικομέτρηση (p−r+1)(q−r+1), R, ο R ονομάζεται προσδιοριστικός δακτύλιος. Σε αυτή την περίπτωση, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ [4]. Ομοίως, οι δακτύλιοι συντεταγμένων των ντετερμινάντων ποικιλιών είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
Μερικά επιπλέον παραδείγματα:
- Ο δακτύλιος K[x]/(x²) έχει διάσταση 0 και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά δεν είναι αναγωγικός και επομένως δεν είναι κανονικός.
- Ο υποδακτύλιος K[t2, t3] του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός του ή η συμπλήρωσή του στο t=0, είναι μια περιοχή 1 διάστασης η οποία είναι Γκόρενσταϊν και επομένως Κοέν-Μακόλεϊ, αλλά όχι κανονική. Ο δακτύλιος αυτός μπορεί επίσης να περιγραφεί ως ο δακτύλιος συντεταγμένων της κυβικής καμπύλης y2 = x3 πάνω από το K.
- Ο υποδακτύλιος K[t3, t4, t5] του πολυωνυμικού δακτυλίου K[t], ή ο εντοπισμός ή η ολοκλήρωσή του στο t=0, είναι ένα μονοδιάστατο πεδίο που είναι Κοέν-Μακόλεϊ αλλά όχι Γκόρενσταϊν.
Οι ρητές ιδιομορφίες πάνω σε ένα πεδίο χαρακτηριστικού μηδέν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Οι τορικές ποικιλίες πάνω από οποιοδήποτε πεδίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ.[5] Το πρόγραμμα του ελάχιστου μοντέλου κάνει εμφανή χρήση των ποικιλιών με klt [6](Kawamata log terminal) ιδιομορφίες- σε χαρακτηριστικό μηδέν, αυτές είναι ρητές ιδιομορφίες και επομένως είναι Κοέν-Μακόλεϊ,[7] Ένα επιτυχημένο ανάλογο των ορθολογικών ιδιομορφιών σε θετική χαρακτηριστική είναι η έννοια των F-ρητών ιδιομορφιών, και πάλι, τέτοιες ιδιομορφίες είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
Έστω X μια προβολική ποικιλία διάστασης n ≥ 1 πάνω από ένα πεδίο, και έστω L μια ευρεία δέσμη γραμμών πάνω στο X. Τότε ο δακτύλιος τομής της L
είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ομάδα συνομολογίας Hi(X, Lj) είναι μηδέν για όλα τα 1 ≤ i ≤ n−1 και όλους τους ακέραιους j.[8] Επομένως, προκύπτει, ότι ο αφινικός κώνος Spec R πάνω από μια αβελιανή ποικιλία X' είναι Κοέν-Μακόλεϊ όταν η X έχει διάσταση 1, αλλά όχι όταν η X έχει διάσταση τουλάχιστον 2 (επειδή η H1(X, O) δεν είναι μηδέν). Βλέπε επίσης Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ.
Σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Λέμε ότι ένα τοπικά Ναιτεριανό σχήμα είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν σε κάθε σημείο ο τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
Καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Οι καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση των σχημάτων Κοέν-Μακόλεϊ, είναι όμως χρήσιμες για τη συμπύκνωση των χώρων moduli των καμπυλών [9] όπου το όριο του ομαλού χώρου αποτελείται από καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ. Υπάρχει ένα χρήσιμο κριτήριο για να αποφασίσουμε αν οι καμπύλες είναι Κοέν-Μακόλεϊ ή όχι. Τα σχήματα διάστασης είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν δεν έχουν ενσωματωμένους πρώτους αριθμούς.[10]. Οι ιδιομορφίες που υπάρχουν στις καμπύλες Κοέν-Μακόλεϊ μπορούν να ταξινομηθούν πλήρως εξετάζοντας την περίπτωση ττων επίπεδων καμπυλών.[11]
Μη παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Χρησιμοποιώντας το κριτήριο, υπάρχουν εύκολα παραδείγματα καμπυλών μη Κοέν-Μακόλεϊ από την κατασκευή καμπυλών με ενσωματωμένα σημεία. Παραδείγματος χάριν, το σχήμα
έχει τη διάσπαση σε πρωταρχικά ιδεώδη . Γεωμετρικά είναι ο άξονας με ένα ενσωματωμένο σημείο στην αρχή, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ως παχύ σημείο. Δεδομένης μιας ομαλής προβολικής επίπεδης καμπύλης , μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας την ίδια τεχνική: βρείτε το ιδεώδες ενός σημείου στο και πολλαπλασιάστε το με το ιδεώδες του . Τότε
είναι μια καμπύλη με ενσωματωμένο σημείο στο .
Θεωρία της διατομής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Τα σχήματα Κοέν-Μακόλεϊ έχουν μια ιδιαίτερη σχέση με τη θεωρία τομών. Έστω X μια ομαλή ποικιλία[12] και V, W κλειστά υποσχήματα καθαρής διάστασης. Έστω Z μια κατάλληλη συνιστώσα της θεωρίας σχημάτων της τομής , δηλαδή μια μη αναγώγιμη συνιστώσα αναμενόμενης διάστασης. Αν ο τοπικός δακτύλιος A του στο γενικό σημείο του Z είναι Κοέν - Μακόλεϊ, τότε η πολλαπλότητα της τομής των V και W κατά μήκος του Z δίνεται ως το μήκος του A:[13]
- .
Γενικά, η πολλαπλότητα αυτή δίνεται ως μήκος και ουσιαστικά χαρακτηρίζει τον δακτύλιο Κοέν-Μακόλεϊ, βλέπε #Ιδιότητες. Το κριτήριο πολλαπλότητας ένα, από την άλλη πλευρά, χαρακτηρίζει κατά προσέγγιση έναν κανονικό τοπικό δακτύλιο ως τοπικό δακτύλιο πολλαπλότητας ένα.
Παράδειγμα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Για ένα απλό παράδειγμα, αν πάρουμε την τομή μιας παραβολής με μια ευθεία που εφάπτεται σε αυτήν, ο τοπικός δακτύλιος στο σημείο τομής είναι ισομορφικός με
το οποίο είναι Κοέν-Μακόλεϊ μήκους δύο, άρα η πολλαπλότητα της τομής είναι δύο, όπως αναμενόταν.
Θαύμα επιπεδότητας ή το κριτήριο του Χιρονάκα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Υπάρχει ένας αξιοσημείωτος χαρακτηρισμός των δακτυλίων Κοέν-Μακόλεϊ, ο οποίος μερικές φορές ονομάζεται θαυματουργή επιπεδότητα ή κριτήριο Χιρονάκα. Έστω R ένας τοπικός δακτύλιος που παράγεται πεπερασμένα ως ενότητα πάνω σε κάποιον κανονικό τοπικό δακτύλιο A που περιέχεται στον R. Ένας τέτοιος υποδακτύλιος υπάρχει για κάθε τοπικοποίηση R σε ένα πρώτο ιδεώδες μιας πεπερασμένα παραγόμενης άλγεβρας πάνω σε ένα πεδίο, σύμφωνα με το λήμμα κανονικοποίησης της Νέτερ- υπάρχει επίσης όταν ο R είναι πλήρης και περιέχει ένα πεδίο, ή όταν ο R είναι ένας πλήρης τομέας[14]. Τότε ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι επίπεδος ως module A- είναι επίσης ισοδύναμο να πούμε ότι ο R είναι ελεύθερος ως moduleA[15].
Μια γεωμετρική αναδιατύπωση έχει ως εξής. Έστω X ένα συνδεδεμένο αφινικό σχήμα πεπερασμένου τύπου πάνω από ένα πεδίο K (παραδείγματος χάριν, μια αφινική ποικιλία). Έστω n η διάσταση του X. Με την κανονικοποίηση της Νέτερ, υπάρχει ένας πεπερασμένος μορφισμός f από το X στον αφινικό χώρο An πάνω από το K. Τότε το X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν όλες οι ίνες του f έχουν τον ίδιο βαθμό [16]. Είναι αξιοσημείωτο ότι αυτή η ιδιότητα είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του f.
Τέλος, υπάρχει μια εκδοχή της Θαυματουργής Επιπεδότητας (Miracle Flatness) για βαθμωτούς δακτυλίους. Έστω R μια πεπερασμένης παραγωγής αντιμεταθετική βαθμωτή άλγεβρα πάνω από ένα πεδίο K,
Υπάρχει πάντα ένας βαθμωτός πολυωνυμικός υποδακτύλιος A ⊂ R (με γεννήτορες σε διάφορους βαθμούς), έτσι ώστε ο R να παράγεται πεπερασμένα ως A-module. Τότε το R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το R είναι ελεύθερο ως διαβαθμισμένο A-μόριο. Και πάλι, προκύπτει ότι αυτή η ελευθερία είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του πολυωνυμικού υποδακτυλίου A.
Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν η ολοκλήρωσή του είναι Κοέν-Μακόλεϊ[17].
- Αν ο R είναι δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος R[x] και ο δακτύλιος δυναμοσειρών R[[x]] είναι Κοέν-Μακόλεϊ[18][19]
- Για έναν μη μηδενικό διαιρέτη u στο μέγιστο ιδεώδες ενός Ναιτεριανού τοπικού δακτυλίου R, ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν ο R/(u) είναι Κοέν-Μακόλεϊ[20].
- Το πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ με οποιοδήποτε ιδανικό είναι καθολικά κατιόν[21].
- Αν ο R είναι πηλίκο ενός δακτυλίου Κοέν-Μακόλεϊ, τότε ο τόπος { p ∈ Spec R | Rp είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του Spec R.[22]
- Έστω (R, m, k) ένας Ναιτεριανός τοπικός δακτύλιος με συνδιάσταση ενσωμάτωσης c, που σημαίνει ότι c = dimk(m/m2) − dim(R). Με γεωμετρικούς όρους, αυτό ισχύει για έναν τοπικό δακτύλιο ενός υποσχήματος συνδιαστάσεων c σε ένα κανονικό σχήμα. Για c=1, το R είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν είναι δακτύλιος υπερεπιφάνειας. Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα δομής για τους δακτυλίους Κοέν-Μακόλεϊ συνδιάστασης 2, το θεώρημα Χίλμπερτ-Burch: είναι όλοι προσδιοριστικοί δακτύλιοι, που ορίζονται από τα r × r ελάσσονες ενός (r+1) × rr πίνακα για κάποιο r.
- Για έναν Ναιτεριανό τοπικό δακτύλιο (R, m), τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:[23]
- Ο R είναι Κοέν-Μακόλεϊ.
- Για κάθε παραμετρικό ιδεώδες Q (ένα ιδανικό που παράγεται από ένα σύστημα παραμέτρων),
- := η πολλαπλότητα Χίλμπερτ-Σαμουέλ του Q.
- Για κάποιο παραμετρικό ιδεώδες Q, length Q, .
- (Βλέπε Γενικευμένος δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ καθώς και δακτύλιος Μπούχσμπαουμ για δακτυλίους που γενικεύουν αυτόν τον χαρακτηρισμό).
Το θεώρημα της μη ανάμειξης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Ένα ιδεώδες I ενός Ναιτεριανού δακτυλίου A ονομάζεται άμικτος σε ύψος αν το ύψος του I είναι ίσο με το ύψος κάθε σχετιζόμενου πρώτου P του A/I. (Αυτό είναι ισχυρότερο από το να λέμε ότι ο A/Iείναι ισοδιάστατος- βλ. παρακάτω).
Το θεώρημα του άμικτου λέγεται ότι ισχύει για τον δακτύλιο A αν κάθε ιδανικό I που παράγεται από αριθμό στοιχείων ίσο με το ύψος του είναι αμιγές. Ένας Ναιτεριανός δακτύλιος είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν και μόνο αν το θεώρημα μη ανάμειξης ισχύει γι' αυτόν[24].
Το θεώρημα της μη-αναμείξεως ισχύει ιδίως για το μηδενικό ιδεώδες (ένα ιδεώδες που παράγεται από μηδενικά στοιχεία) και επομένως καθιστά δυνατό να πούμε ότι ένας δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ είναι ένας ισοδιάστατος δακτύλιος- στην πραγματικότητα, με την ισχυρή έννοια: δεν υπάρχει ολοκληρωμένη συνιστώσα και κάθε συνιστώσα έχει την ίδια συνδιάσταση.
Βλέπε επίσης: οιονεί μικτός δακτύλιος (ένας δακτύλιος στον οποίο το θεώρημα της μη μικτότητας ισχύει για το ολοκληρωτικό κλείσιμο ενός ιδεώδους).
Αντιπαραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Αν το K είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος R = K[x,y]/(x2,xy) (ο δακτύλιος συντεταγμένων μιας ευθείας με ενσωματωμένο σημείο) δεν είναι Κοέν-Μακόλεϊ. Αυτό προκύπτει, για παράδειγμα, από το (θαύμα επίπεδοτητα) Miracle Flatness: Ο R είναι πεπερασμένος πάνω στον πολυωνυμικό δακτύλιο A = K[y], με βαθμό 1 πάνω στα σημεία της αφινικής γραμμής Spec A με y ≠ 0, αλλά με βαθμό 2 πάνω στο σημείο y = 0 (επειδή ο K-διανυσματικός χώρος K[x]/(x2) έχει διάσταση 2).
- Αν το K είναι ένα πεδίο, τότε ο δακτύλιος K[x,y,z]/(xy,xz) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης μιας γραμμής και ενός επιπέδου) είναι μειωμένος, αλλά όχι ισοδιάστατος, και συνεπώς όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Παίρνοντας το πηλίκο από τον μη μηδενικό διαιρέτη x-z δίνει το προηγούμενο παράδειγμα.
- Αν το K είναι πεδίο, τότε ο δακτύλιος R = K[w,x,y,z]/(wy,wz,xy,xz) (ο δακτύλιος συντεταγμένων της ένωσης δύο επιπέδων που συναντώνται σε ένα σημείο) είναι μειωμένος και ισοδιάστατος, αλλά όχι Κοέν-Μακόλεϊ. Για να το αποδείξουμε αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα συνδεσιμότητας του Χάρτσχορν: αν ο R είναι ένας τοπικός δακτύλιος Κοέν-Μακόλεϊ με διάσταση τουλάχιστον 2, τότε ο Spec R μείον το κλειστό του σημείο είναι συνδεδεμένος.[25]
Δυαδικότητα Γκόρενσταϊν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Μια από τις έννοιες της συνθήκης Κοέν-Μακόλεϊ εμφανίζεται στη θεωρία της συνεκτικής δυαδικότητας. Μια ποικιλία ή ένα σχήμα X είναι Κοέν-Μακόλεϊ αν το "σύμπλεγμα δυϊσμού", το οποίο βρίσκεται προφανώς στην παράγωγη κατηγορία των δεσμών πάνω στο X, αντιπροσωπεύεται από μια απλή στήλη. Η ισχυρότερη ιδιότητα του να είναι Γκόρενσταϊν σημαίνει ότι αυτή η δέσμη είναι μια δέσμη γραμμών. Ειδικότερα, κάθε κανονικό σχήμα είναι Γκόρενσταϊν. Έτσι, οι δηλώσεις των θεωρημάτων δυαδικότητας όπως η δυαδικότητα Σερ ή η τοπική δυαδικότητα Γκρόθεντιεκ για σχήματα Γκόρενσταϊν ή Κοέν-Μακόλεϊ διατηρούν κάποια από την απλότητα όσων συμβαίνουν για κανονικά σχήματα ή λείες ποικιλίες.
Δημοσιεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7
- «On the structure and ideal theory of complete local rings», Transactions of the American Mathematical Society 59 (1): 54–106, 1946, doi: , ISSN 0002-9947 Cohen's paper was written when "local ring" meant what is now called a "Noetherian local ring".
- V.I. Danilov (2001), «Cohen–Macaulay ring», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=c/c022970
- Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi: , ISBN 978-0-387-94268-1
- Introduction to Toric Varieties, Princeton University Press, 1993, doi: , ISBN 978-0-691-00049-7
- Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-62046-4
- Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, 1998, doi: , ISBN 0-521-63277-3
- Singularities of the Minimal Model Program, Cambridge University Press, 2013, doi: , ISBN 978-1-107-03534-8
- The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge University Press, 1994, ISBN 1-4297-0441-1, http://projecteuclid.org/euclid.chmm/1263317740
- Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd έκδοση), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6
- «A survey of test ideals», Progress in Commutative Algebra 2, Berlin: Walter de Gruyter, 2012, σελ. 39–99
Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
- Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
- Commutative Ring Theory
- Rings Close to Regular
- Modules over Commutative Regular Rings
Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- ↑ «Cohen-Macaulay rings - University of Utah, Math Department» (PDF).
- ↑ «Cohen-Macaulay rings and related homological dimensions - Graduate School of Mathematics, Nagoya University» (PDF).
- ↑ Bruns & Herzog, from def. 2.1.1
- ↑ Eisenbud (1995), Theorem 18.18.
- ↑ Fulton (1993), p. 89.
- ↑ Braun, Lukas (2021-12). «The local fundamental group of a Kawamata log terminal singularity is finite». Inventiones mathematicae 226 (3): 845–896. doi: . ISSN 0020-9910. http://arxiv.org/abs/2004.00522.
- ↑ Kollár & Mori (1998), Theorems 5. 20 και 5.22.
- ↑ Kollár (2013), (3.4).
- ↑ Honsen, Morten. «Compactifying Locally Cohen–Macaulay Projective Curves» (PDF). Αρχειοθετήθηκε (PDF) από το πρωτότυπο στις 5 Μαρτίου 2020.
- ↑ «Lemma 31.4.4 (0BXG)—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu. Ανακτήθηκε στις 5 Μαρτίου 2020.
- ↑ Wiegand, Roger (December 1991). «Curve singularities of finite Cohen–Macaulay type» (στα αγγλικά). Arkiv för Matematik 29 (1–2): 339–357. doi: . ISSN 0004-2080. Bibcode: 1991ArM....29..339W. https://projecteuclid.org/euclid.afm/1485898045.
- ↑ smoothness here is somehow extraneous and is used in part to make sense of a proper component.
- ↑ Fulton 1998, Proposition 8.2. (b)
- ↑ Bruns & Herzog, Theorem A.22.
- ↑ Eisenbud (1995), Corollary 18.17.
- ↑ Eisenbud (1995), Exercise 18.17.
- ↑ Matsumura (1989), Theorem 17.5.
- ↑ Matsumura (1989), Theorem 17.7.
- ↑ Matsumura (1989), Theorem 23.5.; NB: although the reference is somehow vague on whether a ring there is assumed to be local or not, the proof there does not need the ring to be local.
- ↑ Matsumura (1989), Theorem 17.3.(ii).
- ↑ Matsumura (1989), Theorem 17.9.
- ↑ Matsumura (1989), Exercise 24.2.
- ↑ Matsumura (1989), Theorem 17.11.
- ↑ Matsumura (1989), Theorem 17.6.
- ↑ Eisenbud (1995), Theorem 18.12.
Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
- H. Matsumura, Commutative algebra 1980 (ISBN 0-8053-7026-9).
- Nagata, Masayoshi (1956), «On the chain problem of prime ideals», Nagoya Math. J. 10: 51–64, doi:, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769
- Nagata, Masayoshi (1962), Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, New York-London: Interscience Publishers, a division of John Wiley & Sons; reprinted by R. E. Krieger Pub. Co (1975) (ISBN 0-88275-228-6)