Ροπή αδράνειας

Η ροπή αδράνειας (ή γωνιακή μάζα) είναι μέγεθος της μηχανικής και εκφράζει την κατανομή των υλικών σημείων ενός σώματος ως προς έναν άξονα περιστροφής. Συμβολίζεται συνήθως ως $I$ και έχει διαστάσεις μάζας επί μήκος στο τετράγωνο (σε μονάδες διεθνούς συστήματος kg·m²). Υπολογίζεται ως άθροισμα γινομένων στοιχειωδών μαζών επί το τετράγωνο της απόστασής τους από έναν άξονα. Η γενική σχέση που δίνει την ροπή αδράνειας ενός συστήματος $n$ σωματιδίων είναι η:

$I=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2}$

όπου $m_{i}\,,\,r_{i}$ η μάζα και απόσταση από τον άξονα περιστροφής του $i-$οστού σωματιδίου.

Στη περίπτωση μίας συνεχούς κατανομής μάζας, η ροπή αδράνειας ενός στερεού γνωστής πυκνότητας μάζας $\rho (\mathbf {r} )$ ορίζεται με βάση το παρακάτω ολοκλήρωμα:

$I=\int \rho (\mathbf {r} )r^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$

Η ροπή αδράνειας έχει στην περιστροφική κίνηση έναν ρόλο αντίστοιχο με αυτόν της μάζας στην μεταφορική. Συγκεκριμένα, η φυσική σημασία της ροπής αδράνειας σχετίζεται με την ικανότητα που έχουν τα σώματα να αντιστέκονται σε μεταβολές της περιστροφικής τους κατάστασης. Όσο μεγαλύτερη ροπή αδράνειας έχει ένα σώμα, τόσο δυσκολότερα περιστρέφεται.

Η ροπή αδράνειας ορίζεται πάντοτε ως προς κάποιον άξονα περιστροφής. Για τα σώματα που είναι περιορισμένα να περιστρέφονται σε ένα επίπεδο, σημασία έχει μόνο η ροπή αδράνειας τους γύρω από έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο, μια βαθμωτή τιμή. Για σώματα που είναι ελεύθερα να περιστρέφονται σε τρεις διαστάσεις, οι ροπές τους μπορούν να περιγραφούν με έναν συμμετρικό πίνακα 3 × 3 (τανυστής ροπών αδράνειας), με ένα σύνολο αμοιβαία κάθετων κύριων αξόνων, για τους οποίους αυτός ο πίνακας είναι διαγώνιος και οι ροπές γύρω από τους άξονες δρουν ανεξάρτητα η μία από την άλλη.

Παραδείγματα ροπών αδράνειας

Δακτύλιος
	Η ροπή αδράνειας ενός δακτυλίου μάζας Μ και ακτίνας R για άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και κάθετα στο επίπεδο που ορίζει ο δακτύλιος είναι: $I=MR^{2}\ \ \$

Απόδειξη.

Έστω δακτύλιος συνολικής μάζας Μ η οποία βρίσκεται συγκεντρωμένη σε μία κυκλική περιφέρεια ακτίνας R αμελητέου πάχους. Η ροπή αδράνειας ενός τέτοιου δακτυλίου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του είναι: $I=\int r^{2}\mathrm {d} m=R^{2}\int \mathrm {d} m=MR^{2}$ Στην ολοκλήρωση χρησιμοποιήθηκε το γεγονός ότι, αφού η κατανομή μάζας του δακτυλίου έχει αμελητέο πάχος, κάθε στοιχείο μάζας αυτού βρίσκεται σε απόσταση R από τον άξονα περιστροφής.

Ράβδος
	Η ροπή αδράνειας ράβδου μήκους L και μάζας Μ ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο μήκος της ράβδου είναι: ${\begin{aligned}I_{\kappa {\acute {\varepsilon }}\nu \tau \rho o}&={\frac {1}{12}}ML^{2}\end{aligned}}$
	Η ροπή αδράνειας ράβδου μήκους L και μάζας Μ ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος στο μήκος της ράβδου είναι: ${\begin{aligned}I_{{\acute {\alpha }}\kappa \rho o}&={\frac {1}{3}}ML^{2}\end{aligned}}$

Απόδειξη.

Έστω ράβδος μήκους L με συνολική μάζα Μ. Για λόγους ευκολίας η ράβδος θεωρείται μονοδιάστατη (έχει δηλαδή μόνο διαστάσεις κατά το μήκος στο οποίο εκτείνεται) και ότι έχει σταθερή γραμμική πυκνότητα μάζας λ (λ=M/L=σταθερό). Θεωρώντας τον άξονα πάνω στον οποίο βρίσκεται η ράβδος ως άξονα των x με την αρχή (x=0) να βρίσκεται στο κέντρο της ράβδου, η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που περνάει από το κέντρο της ισούται με: $I_{\kappa {\acute {\varepsilon }}\nu \tau \rho o}=\int r_{\perp }^{2}\mathrm {d} m=\lambda \int _{-L/2}^{L/2}x^{2}\mathrm {d} x=\lambda \left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-L/2}^{L/2}={\frac {\lambda }{3}}\left({\frac {L^{3}}{8}}-{\frac {(-L)^{3}}{8}}\right)={\frac {\lambda L^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}ML^{2}$ Αντίστοιχα, για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από ένα από τα δύο άκρα της ράβδου η αρχή των αξόνων τοποθετείται στο άκρο αυτό και η ολοκλήρωση δίνει: $I_{{\acute {\alpha }}\kappa \rho o}=\int r_{\perp }^{2}\mathrm {d} m=\lambda \int _{0}^{L}x^{2}\mathrm {d} x=\lambda \left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{L}={\frac {\lambda L^{3}}{3}}={\frac {1}{3}}ML^{2}$ Παρατηρούμε ότι Ικέντρο<Ιάκρο, το οποίο σημαίνει ότι είναι ευκολότερο να περιστρέψουμε μια ράβδο γύρω από το κέντρο της, παρά γύρω από ένα από τα δύο άκρα της.

Στερεά σφαίρα
	Η ροπή αδράνειας στερεάς σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι: $I={\frac {2}{5}}MR^{2}$

Απόδειξη.

Έστω στερεά σφαίρα ακτίνας R και μάζας Μ, με σταθερή χωρική πυκνότητα ρ=(3/4)(Μ/πR3) (συνολική μάζα της σφαίρας προς τον όγκο της (4/3)πR3). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να υπολογισθεί η ροπή αδράνειας στερεάς σφαίρας, ένας εκ των οποίων είναι η χρήση σφαιρικών συντεταγμένων (r:ακτινική απόσταση από την αρχή, θ:ζενίθεια γωνία, φ:αζιμούθια/πολική γωνία). Τοποθετώντας την αρχή των αξόνων στο κέντρο της σφαίρας, η ροπή αδράνειας ως προς οποιονδήποτε άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι: $I=\int r_{\perp }^{2}\mathrm {d} m=\rho \int (r\sin {\theta })^{2}\mathrm {d} V\,,$ Το γεγονός ότι $r_{\perp }=r\sin {\theta }$ προκύπτει από το γεγονός ότι ο άξονας z θεωρήθηκε ως ο άξονας περιστροφής, συνεπώς κάθε σημείο της σφαίρας έχει απόσταση από τον άξονα ίση με την προβολή της ακτίνας θέσης του, r, στον άξονα z. Το στοιχείο όγκου στις σφαιρικές συντεταγμένες ισούται με dV=r2sinθdrdφdθ, συνεπώς το προηγούμενο ολοκλήρωμα μετατρέπεται στο εξής τριπλό (ως προς όλες τις μεταβλητές ολοκλήρωσης): $I=\rho \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\,\theta \mathrm {d} \theta \int _{0}^{R}r^{4}\mathrm {d} r=\rho (2\pi )\left({\frac {4}{3}}\right)\left({\frac {R^{5}}{5}}\right)={\frac {8\pi \rho R^{5}}{15}}$ Όμως, η μάζα της σφαίρας ισούται με $M=\rho V={\frac {4\pi \rho R^{3}}{3}}\,,$ συνεπώς η ροπή αδράνειας δίνεται τελικά από τη σχέση: $I={\frac {2}{5}}MR^{2}$

Σφαιρικό κέλυφος
	Η ροπή αδράνειας λεπτού σφαιρικού κελύφους μάζας Μ και ακτίνας R ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι: $I={\frac {2}{3}}MR^{2}$

Απόδειξη.

Έστω λεπτό σφαιρικό κέλυφος αμελητέου πάχους μάζας Μ και ακτίνας R, με σταθερή επιφανειακή πυκνότητα σ=M/4πR2. Με χρήση σφαιρικών συντεταγμένων, το ολοκλήρωμα της ροπής αδράνειας για άξονα που διέρχεται από το κέντρο του κελύφους γίνεται: $I=\int r_{\perp }^{2}\mathrm {d} m=\sigma \int (R\sin {\theta })^{2}\mathrm {d} A\,,$ όπου Rsinθ η απόσταση κάθε σημείου της επιφάνειας της σφαίρας από τον άξονα z, ο οποίος θεωρείται ως ο άξονας περιστροφής. Το στοιχείο εμβαδού dA σε σφαιρικές συντεταγμένες ισούται με R2sinθdφdθ, συνεπώς το παραπάνω ολοκλήρωμα μετατρέπεται στο εξής διπλό (ως προς τις γωνιακές συντεταγμένες φ και θ): $I=\sigma R^{4}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\pi }\sin ^{3}{\theta }\,\mathrm {d} \theta =\sigma R^{4}(2\pi )\left({\frac {4}{3}}\right)={\frac {8\pi \sigma R^{4}}{3}}\ {\xrightarrow {M=4\pi R^{2}\sigma }}\ I={\frac {2}{3}}MR^{2}$

Συμπαγής κύλινδρος
	Η ροπή αδράνειας συμπαγούς κυλίνδρου ακτίνας βάσης R, μάζας Μ και μήκους h ως προς άξονα που διέρχεται κατά μήκος του και διαμέσου του κέντρου του είναι: $I={\frac {1}{2}}MR^{2}$

Απόδειξη.

Έστω συμπαγής κύλινδρος ακτίνας βάσης R, μάζας Μ και μήκους h, με σταθερή χωρική πυκνότητα μάζας ρ=Μ/πR2h. Κάνοντας χρήση κυλινδρικών συντεταγμένων (r:ακτινική απόσταση από τον άξονα συμμετρίας, φ:αζιμουθιακή/πολική γωνία, z:συνιστώσα σημείου στον άξονα συμμετρίας). Εν προκειμένω, ο άξονας περιστροφής ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου. Στη περίπτωση αυτή ο άξονας περιστροφής μπορεί να ταυτιστεί με τον άξονα z και την αρχή των αξόνων με μία από τις δυο βάσεις του κυλίνδρου. Το ολοκλήρωμα της ροπής αδράνειας γίνεται λοιπόν: $I=\int r_{\perp }^{2}\mathrm {d} m=\rho \int r^{2}\mathrm {d} V=\rho \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{h}\mathrm {d} z\int _{0}^{R}r^{3}\mathrm {d} r=\rho (2\pi )(h)\left({\frac {R^{4}}{4}}\right)={\frac {\pi \rho hR^{4}}{2}}\ {\xrightarrow {M=\rho \pi R^{2}h}}\ I={\frac {1}{2}}MR^{2}$

Βιβλιογραφία

• Physics - Raymond A. Serway, τόμος Ι
• Φυσική θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ΄ λυκείου, ΟΕΔΒ
• Finney, R.L., Giordano F.R. (2005). Απειροστικός λογισμός, Τόμος ΙΙ. Ελληνική μετάφραση. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.