Γωνιακή επιτάχυνση

Γωνιακή επιτάχυνση ονομάζουμε τον ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας ενός σώματος. Μετράται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτα στο τετράγωνο (Για το S.I. η μονάδα $rad/s^{2}$ έχει τις ίδιες φυσικές διαστάσεις με την $ms^{-2}$ ). Συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα $\alpha$ .

Μαθηματικός Ορισμός[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μαθηματικά, η γωνιακή επιτάχυνση ορίζεται ως:

{\alpha }={\frac {d{\omega }}{dt}}={\frac {d^{2}{\theta }}{dt^{2}}},

όπου dθ η μεταβολή της γωνίας που αντιστοιχεί στο διαγραφόμενο τόξο και $d\omega$ η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας. Η γωνιακή επιτάχυνση έχει λοιπόν τη φυσική σημασία του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας.

Εφαπτομενική και Κεντρομόλος επιτάχυνση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Συχνά γίνεται σύγχυση μεταξύ εφαπτομενικής και κεντρομόλου επιτάχυνσης. Περιγράφοντας ένα σύστημα σε δύο διαστάσεις όχι με καρτεσιανές αλλά με πολικές συντεταγμένες, η θέση ενός σημείου καθορίζεται από την απόσταση $r$ από την αρχή και την γωνία $\theta$ σε σχέση με την διεύθυνση αναφοράς. Έτσι, η ταχύτητα ενός κινητού περιγράφεται από δύο συνιστώσες, μία κατά την διεύθυνση αύξησης της ακτίνας και μία κατά την διεύθυνση αύξησης της γωνίας:

$\mathbf {v} (t)={\frac {d}{dt}}r(t,\theta )\mathbf {e} _{r}+r(t,\theta ){\frac {d}{dt}}\theta (t)\mathbf {e} _{\theta }$

όπου είναι: ${\frac {d}{dt}}\theta (t)=\omega (t)$

Η επιτάχυνση, ως χρονική παράγωγος της ταχύτητας γίνεται:

$\mathbf {a} (t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}r(t,\theta )\mathbf {e} _{r}+{\frac {d}{dt}}r(t,\theta ){\frac {d}{dt}}\theta (t)\mathbf {e} _{\theta }+r(t,\theta ){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\theta (t)\mathbf {e} _{\theta }$

Για την κυκλική κίνηση, η ακτίνα $r$ είναι σταθερή οπότε η παραπάνω γίνεται:

$\alpha _{t}(t)=r(t,\theta ){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\theta (t)\mathbf {e} _{\theta }\,\Rightarrow \,\alpha _{t}(t)=r(t,\theta ){\frac {d}{dt}}\omega (t)$

ενώ ο πρώτος όρος αναφέρεται στην επιτάχυνση που διατηρεί την ακτίνα σταθερή:

$\alpha _{k}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}r(t,\theta )$

η οποία είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση και δεν γράφεται ως διάνυσμα επειδή δεχόμαστε πως έχει πάντα κατεύθυνση προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. Για ομαλή κυκλική κίνηση είναι $d\theta /dt=\omega \,\Rightarrow \,\theta (t)=\omega {t}+\theta _{0}$ , από την οποία προκύπτει η σχέση για την κεντομόλο επιτάχυνση: