Ιδεώδες (μαθηματικά)

Στη θεωρία δακτυλίων, ιδεώδες είναι ένα ειδικό υποσύνολο του δακτυλίου.

Ορισμός

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$) δακτύλιος και $I$ ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το $I$ θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες, αγγλικά: Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως $I\triangleleft {\mathcal {R}}$ αν ισχύουν τα εξής:

• $a-b\in I$ για κάθε $a,b\in I$, δηλαδή το $I$ αποτελεί ομάδα ως προς την πρόσθεση του δακτυλίου

• $r\cdot a\in I$ και $a\cdot r\in I$, για κάθε $r\in {\mathcal {R}},a\in I$
• Υπάρχει $a\neq 0$ στο $I$
• Υπάρχει $d\neq 0$ στο ${\mathcal {R}}$ τέτοιο ώστε να ισχύει $dI\subset {\mathcal {R}}$

Από την τρίτη ιδιότητα, προκύπτει ότι κάθε ιδεώδες $I$ του δακτυλίου είναι διάφορο του συνόλου ${\mathcal {R}}$. Στη γενική θεωρία των ιδεώδων και το σύνολο ${\mathcal {R}}$ αποτελεί ιδεώδες.

Μεγιστικό ιδεώδες

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$) δακτύλιος και $M\neq {\mathcal {R}}$ ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (αγγλικά: maximal ideal) αν για κάθε $I\triangleleft R$ με $M\subset I\subset {\mathcal {R}}$ έπεται ότι $I=M$ ή $I={\mathcal {R}}$.

Πρώτο Ιδεώδες

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$) δακτύλιος και ${\mathcal {P}}\neq {\mathcal {R}}$ ένα ιδεώδες του. Το ${\mathcal {P}}$ θα καλείται πρώτο ιδεώδες (αγγλικά: prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

• Αν $ab\in {\mathcal {P}}$ τότε είτε $a\in {\mathcal {P}}$ είτε $b\in {\mathcal {P}}$.

Προκύπτει ότι κάθε μεγιστικό ιδεώδες του ${\mathcal {R}}$ είναι πρώτο.

Παραδείγματα

• Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο $\{0_{R}\}$

• Έστω $F:R\rightarrow S$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

• Το σύνολο $\{ra;r\in R\}$ είναι ένα ιδεώδες του $R$ που περιέχει το $a$.Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο και συμβολίζεται με $<a>$.

• Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Τότε το ιδεώδες $<p>$ του $\mathbb {Z}$ είναι πρώτο και μέγιστο.

Βιβλιογραφία

• Λάκκης, Κωνσταντίνος (1991), Θεωρία Αριθμών, Ζήτη