Χρήστης:Κοκότα ευαγγελία/πρόχειρο

Τανυστικό γινόμενο της Φον Νόιμαν άλγεβρας

Ο Χίλμπερτ χώρος τανυστικού γινομένου δύο Χίλμπερτ χώρων είναι η πλήρωση του αλγεβρικού τανυστικού γινομένου. Κάποιος μπορεί να προσδιορίσει ένα τανυστικό γινόμενο της Φον Νόιμαν άλγεβρας (μια πλήρωση του αλγεβρικού τανυστικού γινομένου από την άλγεβρα θεωρούνται ως δαχτυλίδια) , το οποίο είναι πάλι μια Φον Νόιμαν άλγεβρα, και δρα πάνω σε ένα τανυστικό γινόμενο από τους αντίστοιχους Χίλμπερτ χώρους. Το τανυστικό γινόμενο δύο πεπερασμένων άλγεβρων είναι πεπερασμένο, και το τανυστικό γινόμενο από μία άπειρη άλγεβρα και μία μη μηδενική άλγεβρα είναι άπειρο.Το είδος απο το τανυστικό γινόμενο δύο Φον Νόιμαν άλγεβρων (Ι,ΙΙ, ή ΙΙΙ) είναι το μέγιστο από τα είδη τους.Το Θεώρημα αντιμετάθεσης για τανυστικά γινόμενά ισχυρίζεται ότι:

$(M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },$

όπου M′ δηλώνει τον αντιμεταθέτη του M.

Το τανυστικό γινόμενο ενός άπειρου αριθμού μιας Φον Νόιμαν άλγεβρας,αν γίνει απλοϊκά, είναι συνήθως μία γελοιωδώς μεγάλη μη-διαχωρίσιμη άλγεβρα.Αντί αυτού ο Φον Νόιμαν (1938) δείχνει ότι κάποιος πρέπει να διαλέξει μία κατάσταση σε καθένα απο την Φον Νόιμαν, χρησιμοποιήστε αυτό για να προσδιορίσετε μιά κατάσταση πάνω στο αλγεβρικό τανυστικό γινόμενο, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παράγει έναν Χίλμπερτ χώρο και μια (δικαιολογημένα μικρή) Φον Νόιμαν άλγεβρα. Αράκι & Γούντς (1968) μελέτησε τη περίπτωση όπου όλοι οι συντελεστές είναι πεπερασμένοι αλγεβρικοί πίνακες, αυτοί οι συντελεστές ονομάζονται Αράκι-Γούντς συντελεστές ή ΑΤΓΠΙ παράγοντες (ΑΤΓΠΙ συντομογραφία του άπειρου τανυστικού γινομένου από πεπερασμένου τύπου Ι συντελεστές).Το είδος από το άπειρο τανυστικό γινόμενο μπορεί να ποικίλει δραματικά καθώς οι καταστάσεις αλλάζουν. Για παράδειγμα, στο άπειρο τανυστικό γινόμενο ενός άπειρου αριθμού του τύπου I₂ οι συντελεστές μπορεί να είναι οποιουδήποτε τύπου εξαρτάται από την επιλογή των καταστάσεων. Ειδικότερα Πάουερς (1967) βρίσκετε μια μη-μετρήσιμη οικογένεια υπερπεπερασμένου τύπου III_λ συντελεστές για 0<λ<1, ονομάζεται συντελεστές δύναμης,παίρνοντας ένα άπειρο τανυστικό γινόμενο για τύπου I₂ συντελεστές.,σε καθένα απο τους οποίους η κατάσταση δίνεται από:

$x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.$

Όλη η πεπερασμένη Φον Νόιμαν άλγεβρα εκτός του τύπου III₀είναι ισόμορφη με τους συντελεστές Αράκι Γούντς, αλλά υπάρχουν υπερβολικά πολλοί του τύπου III₀ που δεν είναι.

β-συζυγές και υποπαράγοντες

Μια β-συζυγές (ή αντιστοιχία) είναι ένας Χίλμπερτ χώρος H με πρότυπο πράξεις από δύο αντιμεταθετικές Φον Νόιμαν άλγεβρες.Οι β-συζυγές έχουν πολύ πιο πλούσια δομή από αυτή των πρότυπων. Κάθε β-συζυγές πάνω από δύο παράγοντες δίνει ένα υποπαράγοντα μέχρι ένας από τους παράγοντες πάντα να περιέχεται στην αντιμετάθεση του άλλου. Υπάρχει ακόμη ένα σχετικού suble τανυστικού γινομένου δράση λόγω Κοννς πάνω στις β-συζυγές. Η θεωρία των υποπαραγόντων , ξεκίνησε από τον Βάουγκχαν Τζόουνς, συμφιλιώνει αυτές τις δύο φαινομενικά διαφορετικές απόψεις.

Οι β-συζυγές είναι ακόμη σημαντικές για το γκρουπ Φον Νόιμαν άλγεβρα Μ από ένα διακριτό γκρουπ Γ. Πράγματι μία V είναι μια οποιαδήποτε μοναδιαία απεικόνιση του Γ, τότε, σχετικά με το Γ ως την διαγώνια υποομάδα Γ*Γ , η αντίστοιχη επαγώμενη αναπαράσταση πάνω l² (Γ, V) είναι φυσική μια β-συζυγές για δύο αντιμεταθετικά αντίγραφα του Μ .Σημαντική θεωρητική αναπαράσταση ιδιότητες του Γ μπορουν να διατυπωθούν εντελώς με όρους β-συζυγές και επιπλέον να βγάλουν νόημα για την ίδια την Φον Νόιμαν άλγεβρα.Για παράδειγμα ο Κοννς και ο Τζόουνς έδωσαν έναν ορισμό από ένα ανάλογο από Καζμπάν ιδιότητα T για Φον Νόιμαν άλγεβρες με αυτό τον τρόπο.

Μη-δεκτικοί παράγοντες

Οι Φον Νόιμαν άλγεβρες του τύπου Ι είναι πάντα δεκτικές, αλλά για τους άλλους τύπους υπάρχει ένας μη-μετρήσιμος αριθμός από διαφορετικούς μη δεκτικούς παράγοντες,το οποίο δείχνει πολύ δύσκολο να τους κατατάξουμε σε κλάσεις, ή ακόμη και να τους διακρίνουμε τον έναν από τον άλλον. Παρ'όλα αυτά ο Βοϊκουλέσκου έδειξε ότι η κλάση των μη δεκτικών παραγόντων προερχόμενοι από την ομάδα μέτρου κατασκευαστικού χώρου είναι ασύνδετη από την κλάση που προέρχεται από την ομάδα των Φον Νόιμαν άλγεβρων από τις ελεύθερες ομάδες.Αργότερα ο Ναρουτάκα Οζάουα απέδειξε ότι η ομάδα Φον Νόιμαν άλγεβρας από υπερβολικές ομάδες παράγει πρώτο αριθμό τύπου ΙΙ₁ παράγοντες, δηλ. κάποιος που δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως τανυστικό γινόμενο τύπου ΙΙ ₁ παράγοντες, ένα αποτέλεσμα αποδείχθηκε πρώτα από τον Λίμινγκ Τζι για ελεύθερη ομάδα παραγόντων χρησιμοποιώντας την ελεύθερη θεωρία πιθανοτήτων του Βοϊκουλέσκου. Η δουλειά του Πόπα πάνω στις βασικές ομάδες των μη δεκτικών παραγόντων παρουσιάζει μία ακόμη σημαντική βελτίωση.Η θεωρία των παραγόντων πέρα από το υπερπεπερασμένο εξαπλώνεται ραγδαία στο παρόν, με αρκετά νέα και εκπληκτικά αποτελέσματα, έχει μερικές σχετικές ιστοσελίδες φαινόμενα ακαμψίας στη Θεωρία γεωμετρικών ομάδων και εργοδική θεωρία.

Παραδείγματα

• Οι ουσιώδεις φραγμένες συναρτήσεις πάνω σε ένα σ-πεπερασμένο μετρήσιμο χώρο από μια αντιμεταθετική (τύπου I₁) Φον Νόιμαν άλγεβρα η οποία δρα πάνω στις L² συναρτήσεις. Για ορισμένους μη σ-πεπερασμένους μετρήσιμους χώρους , συνήθως θεωρούνται παθολογικά μαθηματικά,L^∞(X) δεν είναι μία Φον Νόιμαν άλγεβρα, για παράδειγμα η σ-άλγεβρα από μετρήσιμο σύνολο ίσως είναι μετρήσιμη- συνμετρήσιμη άλγεβρα πάνω σε ένα μη-μετρήσιμο σύνολο.

• Οι φραγμένοι τελεστές πάνω σε οποιοδήποτε Χίλμπερτ χώρο από μια Φον Νόιμαν άλγεβρα,στη πραγματικότητα ένας παράγοντας,του τύπου Ι.

• Αν έχουμε οποιοδήποτε μοναδιαία αναπαράσταση από μία ομάδα G πάνω σε ένα Χίλμπερτ χώρο H τότε οι φραγμένοι τελεστές αντιμεταθετικοί με G από μια Φον Νόιμαν άλγεβρα G′, των οποίων οι αναπαραστάσεις αντιστοιχούν ακριβώς στο κλειστό υποδιάστημα του Η αναλλοίωτο κάτω από τον G. Ισοδύναμες υπο-παραστάσεις αντιστοιχούν σε ισοδύναμες παραστάσεις μέσα στη G′. Οι διπλές αντιμεταθέσεις G′′ από την G είναι επίσης μια Φον Νόιμαν άλγεβρα.

• Η Φον Νόιμαν αλγεβρική ομάδα από μία διακριτή ομάδα G είναι μία άλγεβρα από όλους τους φραγμένους τελεστές πάνω στο Η = l² (G) αντιμεταθετική με την πράξη της G πάνω στην Η μέσω του δεξιού πολλαπλασιασμού. Κάποιος μπορεί να δείξει ότι αυτό είναι μια Φον Νόιμαν άλγεβρα που παράγεται από τελεστές αντιμεταθετικούς στον αριστερό πολλαπλασιασμό με ένα στοιχείο γ ∈ G.Αυτό είναι ένας παράγοντας (τύπου II₁) αν κάθε μη τετριμμένη κλάση συζυγίας από G είναι πεπερασμένη (για παράδειγμα,μια μη αβελιανή ελεύθερη ομάδα), και είναι ένας υπερπεπερασμένος παράγοντας τύπου II₁ αν επιπλέον G είναι μία ένωση από πεπερασμένες υποομάδες (για παράδειγμα, η ομάδα με όλες τις μεταθέσεις από τους ακεραίους τους καθορίζουν αλλά ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείο)

• Το τανυστικό γινόμενο από δύο Φον Νόιμαν άλγεβρες , ή από ένα αριθμήσιμο σύνολο με καταστάσεις, είναι μία Φον Νόιμαν άλγεβρα όπως περιγράφονται στην ενότητα παραπάνω.

• Το σταυρωτό γινόμενο από μία Φον Νόιμαν άλγεβρα από μία διακριτή (ή πιο γενικά τοπικά συμπαγείς) ομάδα μπορεί να προσδιοριστεί , και είναι μία Φον Νόιμαν άλγεβρα. Σε ειδικές περιπτώσεις είναι η μετρήσιμη ομάδα κατασκευάσιμου χώρου από τον Μάρεϊ και Φον Νόιμαν και Γκρίγκερ παράγοντες

• Οι Φον Νόιμαν άλγεβρες από μια μετρήσιμη ισοδύναμη σχέση και μια μετρήσιμη ομάδα μπορούν να προσδιοριστούν. Αυτά τα παραδείγματα μπορούν να γενικεύσουν τις Φον Νόιμαν αλγεβρικές ομάδες και τις μετρίσημες ομάδες κατασκευάσιμου χώρου.