Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, οι τύποι Mollweide σε ένα τρίγωνο με πλευρές και κορυφές , είναι οι εξής σχέσεις[1][2][3]
- ,
και
- .
Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον μαθηματικό Karl Mollweide.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι
όπου η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι
, και .
|
|
(1)
|
Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων
|
|
(2)
|
και
.
|
|
(3)
|
Ακόμα, θα χρησιμοποιήσουμε ότι
.
|
|
(4)
|
Απόδειξη 1ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (1) έχουμε ότι
- .
Έπειτα η (3) και η (4) δίνουν ότι
- .
Αφού οι είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι . Χρησιμοποιώντας ότι , καταλήγουμε ότι
- .
Απόδειξη 2ης σχέσης: Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (1) έχουμε ότι
- .
Έπειτα η (2) και η (4) δίνουν ότι
- .
Αφού οι είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι . Χρησιμοποιώντας ότι , καταλήγουμε ότι
- .
Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu.[4]
Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε τον νόμο των εφαπτομένων
- .