Ταυτότητα Λαγκράνζ

Στα μαθηματικά, η ταυτότητα Λαγκράνζ (αναφέρεται και ως ταυτότητα Lagrange) είναι η ταυτότητα που ισχύει για κάθε πραγματικούς αριθμούς $a,b,x,y$ και λέει ότι

$(a^{2}+b^{2})\cdot (x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}$.

Πιο γενικά, για οποιαδήποτε για $n$ πραγματικούς $a_{1},\ldots ,a_{n}$ και $b_{1},\ldots ,b_{n}$ ισχύει ότι

$(a_{1}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})\cdot (b_{1}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})-(a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}=\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{3}-a_{1}b_{3}\right)^{2}+\ldots +\left(a_{n-1}b_{n}-a_{n-1}b_{n}\right)^{2},$

ή πιο σύντομα με την χρήση του συμβολισμού για το άθροισμα

$\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}$.

Η σχέση αυτή μπορεί επίσης να γραφτεί με την χρήση διανυσμάτων $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ ως εξής

$\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}$.

Από αυτήν την σχέση και το γεγονός ότι $x^{2}\geq 0$ για κάθε πραγματικό αριθμό $x$, προκύπτει η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς στους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή

$\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\geq \mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$.

Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ.

Αποδείξεις

Απόδειξη για n = 2

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι

${\begin{aligned}(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}&=(ax)^{2}+2\cdot (ax)\cdot (by)+(by)^{2}+(ay)^{2}-2\cdot (ay)\cdot (bx)+(bx)^{2}\\&=a^{2}x^{2}+2abxy+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}-2abxy+b^{2}x^{2}\\&=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}\\&=a^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})+b^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})\\&=(a^{2}+b^{2})\cdot (x^{2}+y^{2}),\end{aligned}}$

το οποίο είναι το αριστερό μέλος.

Γενική απόδειξη

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι

$\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}.$

Για το αριστερό μέλος έχουμε ότι

$\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}\left(a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+a_{j}^{2}b_{i}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}$,

όπου στο τελευταίο βήμα προσθέσαμε τους όρους $a_{i}^{2}b_{i}^{2}$ στο πρώτο άθροισμα και τους αφαιρέσαμε από το δεύτερο. Επομένως, συμπεραίνουμε ότι τα δύο μέλη είναι ίσα.

Δείτε επίσης

• Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς