Νόμος του τετραγώνου-κύβου

Ο νόμος του τετραγώνου-κύβου είναι ένα θεώρημα των μαθηματικών, το οποίο βρίσκει εφαρμογές σε πολλά επιστημονικά πεδία, όπως η μηχανική και η βιομηχανική, και περιγράφει τη σχέση μεταξύ του εμβαδού και του όγκου καθώς το σχήμα αλλάζει μέγεθος. Διατυπώθηκε πρώτη φορά το 1638 από τον Γαλιλαίο στο έργο του «Δύο Νέες Επιστήμες».

Το θεώρημα αυτό μας λέει ότι καθώς το σώμα μεγαλώνει σε μέγεθος, ο όγκος του μεγαλώνει πιο γρήγορα από το εμβαδόν της επιφάνειάς του.

Ορισμός

Το θεώρημα διατυπώνεται ως εξής:

«Όταν ένα σώμα υφίσταται αναλογική αύξηση του μεγέθους του, το νέο εμβαδόν της επιφάνειάς του είναι ανάλογο του τετραγώνου του συντελεστή αναλογίας και ο νέος όγκος του είναι ανάλογος με τον κύβο του συντελεστή αναλογίας»

Στη γλώσσα των μαθηματικών αυτό εκφράζεται:

$A_{2}=A_{1}\cdot c^{2}$ και $V_{2}=V_{1}\cdot c^{3}$

όπου c ο συντελεστής αναλογίας για τον οποίο ισχύει ότι $c={\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}$

$A_{1}$ το εμβαδόν επιφάνειας του αρχικού σώματος

$A_{2}$ το εμβαδόν επιφάνειας του νέου σώματος

$V_{1}$ ο όγκος του αρχικού σώματος

$V_{2}$ ο όγκος του νέου σώματος

$\ell _{1}$ το αρχικό μήκος κάποιας διάστασης του σώματος

$\ell _{2}$ το νέο μήκος της αντίστοιχης διάστασης

Για παράδειγμα, ένας κύβος με ακμή 1 cm έχει εμβαδόν επιφάνειας 6 cm² και όγκο 1 cm³ . Αν όλες οι διαστάσεις του κύβου πολλαπλασιαστούν επί 2, το νέο εμβαδόν της επιφάνειάς του θα είναι 24 cm² και νέος όγκος του θα είναι 8 cm³.

Το θεώρημα αυτό γενικεύεται για κάθε στερεό σώμα.