Η μεσοκάθετος
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
Στην ευκλείδεια γεωμετρία , η μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη (ή αλλιώς μεσοκάθετος ) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.[1] :40 [2] :70-72
Η μεσοκάθετη αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
Θεώρημα: Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
Απόδειξη : Έστω
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
ένα ευθύγραμμο τμήμα και
Σ
{\displaystyle \Sigma }
ένα σημείο της μεσοκάθετής του. Τα ορθογώνια τρίγωνα
A
M
Σ
{\displaystyle \mathrm {AM\Sigma } }
και
B
M
Σ
{\displaystyle \mathrm {BM\Sigma } }
είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς. Συνεπώς θα είναι
A
Σ
=
B
Σ
{\displaystyle \mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma } }
.
Αντίστροφα, έστω
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
το ευθύγραμμο τμήμα και
Σ
{\displaystyle \mathrm {\Sigma } }
ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε
A
Σ
=
B
Σ
{\displaystyle \mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma } }
. Αν
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
είναι το ίχνος του
Σ
{\displaystyle \mathrm {\Sigma } }
στο
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
, τα τρίγωνα
A
M
Σ
{\displaystyle \mathrm {AM\Sigma } }
και
B
M
Σ
{\displaystyle \mathrm {BM\Sigma } }
είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και ίση υποτείνουσα. Τότε θα έχουμε
A
M
=
B
M
{\displaystyle \mathrm {AM} =\mathrm {BM} }
, δηλαδή το
M
{\displaystyle \mathrm {M} }
θα είναι το μέσο του
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
και η κάθετη
Σ
M
{\displaystyle \mathrm {\Sigma M} }
θα είναι η μεσοκάθετη.
◻
{\displaystyle \square }
Έστω
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
και
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο
y
−
A
y
+
B
y
2
=
−
B
x
−
A
x
B
y
−
A
y
⋅
(
x
−
A
x
+
B
x
2
)
{\displaystyle y-{\tfrac {\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}}{2}}=-{\tfrac {\mathrm {B} _{x}-\mathrm {A} _{x}}{\mathrm {B} _{y}-\mathrm {A} _{y}}}\cdot \left(x-{\tfrac {\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}}{2}}\right)}
,
χρησιμοποιώντας ότι η ευθεία διέρχεται από το το μέσο
(
A
x
+
B
x
2
,
A
y
+
B
y
2
)
{\displaystyle \left({\tfrac {\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}}{2}},{\tfrac {\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}}{2}}\right)}
του
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
και έχει κλίση
m
=
B
x
−
A
x
B
y
−
A
y
,
{\displaystyle m={\tfrac {\mathrm {B} _{x}-\mathrm {A} _{x}}{\mathrm {B} _{y}-\mathrm {A} _{y}}},}
ως κάθετη στο
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
.
Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
και
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
και ακτίνα
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
.
Βρίσκουμε τα σημεία τομής
T
1
{\displaystyle \mathrm {T} _{1}}
και
T
2
{\displaystyle \mathrm {T} _{2}}
των δύο κύκλων.
Η ευθεία που ενώνει τα
T
1
{\displaystyle \mathrm {T} _{1}}
και
T
2
{\displaystyle \mathrm {T} _{2}}
είναι η μεσοκάθετος του
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
.
Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το περίκεντρο.
Θεώρημα: Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο.
(Απόδειξη) Έστω
O
′
{\displaystyle \mathrm {O'} }
η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
και
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
. Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι
A
O
′
=
B
O
′
{\displaystyle \mathrm {AO'} =\mathrm {BO'} }
και
B
O
′
=
Γ
O
′
{\displaystyle \mathrm {BO'} =\mathrm {\Gamma O'} }
.
Άρα το
O
′
{\displaystyle \mathrm {O'} }
ισαπέχει και από το σημείο
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma } }
. Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του
A
Γ
{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }
. Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
,
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
και
A
Γ
{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }
συντρέχουν στο
O
′
{\displaystyle \mathrm {O'} }
.
◻
{\displaystyle \square }
↑ Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία . Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.