Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές.Βοηθήστε συνδέοντας το κείμενο με τις πηγές χρησιμοποιώντας παραπομπές, ώστε να είναι επαληθεύσιμο.
Το πρότυπο τοποθετήθηκε χωρίς ημερομηνία. Για τη σημερινή ημερομηνία χρησιμοποιήστε: {{χωρίς παραπομπές|7|05|2024}}
Στην μαθηματική ανάλυση το κριτήριο παρεμβολής είναι ένα πολύ σημαντικό θεώρημα όταν επιθυμούμε να επιβεβαιώσουμε το όριο μιας συνάρτησης. Η χρήση του κριτηρίου βασίζεται στη σύγκριση της συνάρτησης μας με δύο άλλες συναρτήσεις των οποίων τα όρια είναι ίσα και επιπλέον είναι γνωστά ή μπορούν εύκολα να υπολογιστούν. Χρησιμοποιήθηκε πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη και τον Εύδοξο στην προσπάθειά τους να υπολογίσουν την τιμή του π και διατυπώθηκε σε σύγχρονους όρους από τον Γκάους.
Το κριτήριο λέει ότι όταν δύο συναρτήσεις έχουν το ίδιο όριο και μια τρίτη συνάρτηση παίρνει τιμές μεταξύ των τιμών των δύο αυτών συναρτήσεων τότε το όριο της υπάρχει και είναι ίσο με το όριο των δύο άλλων.
Η απόδειξη χρησιμοποιεί τον ε-δ ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο . Ξεκινούμε με ένα τυχαίο ε >0 και ζητούμε ένα δ(ε) > 0 τέτοιο ώστε να ικανοποιείται ο ορισμός του ορίου συνάρτησης.
Έστω ε > 0. Αφού ισχύει έχουμε ότι:
υπάρχει δ1 > 0 τέτοιο ώστε: αν και τότε
υπάρχει δ2 > 0 τέτοιο ώστε: αν και τότε
Ορίζουμε . Τότε αν έχουμε:
και άρα
και άρα
Επομένως έχουμε:
και άρα
και άρα
και αφού για κάθε ισχύει ότι:
Από την πιο πάνω παίρνουμε την:
και τελικα
Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε ε > 0 επομένως από τον ορισμό του ορίου συνάρτησης: