Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Το θεώρημα Νάγκελ για το τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
Στην γεωμετρία , το θεώρημα Νάγκελ (αναφέρεται συχνά ως θεώρημα Nagel ) λέει ότι σε κάθε τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
A
H
A
{\displaystyle \mathrm {AH_{A}} }
B
H
B
{\displaystyle \mathrm {BH_{B}} }
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
ύψη του τριγώνου, και
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
περιγεγραμμένου κύκλου , ισχύει ότι[1] :125
H
A
H
B
⊥
O
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma } }
H
B
H
Γ
⊥
O
A
{\displaystyle \quad \mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} \quad }
H
A
H
Γ
⊥
O
B
{\displaystyle \quad \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OB} }
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Κρίστιαν Χάινριχ φον Νάγκελ .
Σχήμα απόδειξης θεωρήματος Νάγκελ. Θεωρούμε
B
H
B
{\displaystyle \mathrm {BH_{B}} }
Γ
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }} }
O
A
⊥
H
B
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {OA} \perp \mathrm {H_{B}H_{\Gamma }} }
Θεωρούμε την εφαπτομένη
x
A
{\displaystyle \mathrm {xA} }
(
O
,
A
)
{\displaystyle (\mathrm {O} ,\mathrm {A} )}
O
A
⊥
x
A
{\displaystyle \mathrm {OA} \perp \mathrm {xA} }
∠
x
A
B
=
Γ
^
{\displaystyle \angle \mathrm {xAB} ={\hat {\mathrm {\Gamma } }}}
H
B
H
Γ
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{B}H_{\Gamma }B\Gamma } }
εγγράψιμο (καθώς
∠
B
H
B
Γ
=
∠
Γ
H
Γ
B
=
90
o
{\displaystyle \angle \mathrm {BH_{B}\Gamma } =\angle \mathrm {\Gamma H_{\Gamma }B} =90^{o}}
Γ
{\displaystyle \mathrm {\Gamma } }
παραπληρωματική της
B
H
Γ
H
B
{\displaystyle \mathrm {BH_{\Gamma }H_{B}} }
H
B
H
Γ
A
=
Γ
^
{\displaystyle \mathrm {H_{B}H_{\Gamma }A} ={\hat {\mathrm {\Gamma } }}}
H
B
H
Γ
{\displaystyle \mathrm {H_{B}H_{\Gamma }} }
x
A
{\displaystyle \mathrm {xA} }
H
B
H
Γ
⊥
O
A
{\displaystyle \mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} }
↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη. 
