Εφαπτόμενος χώρος

Στα μαθηματικά, ο εφαπτόμενος χώρος μιας πολλαπλότητας διευκολύνει τη γενίκευση των διανυσμάτων από τους αφινικούς χώρους έως τις γενικές πολλαπλότητες, αφού στης πολλαπλότητες δεν μπορεί κανείς να αφαιρέσει δύο σημεία για να αποκτήσει ένα διάνυσμα που δίνει τη μετατόπιση ενός σημείου από το άλλο.

Γενική περιγραφή

Μια εικονογραφική αναπαράσταση του εφαπτόμενου χώρου ενός σημείου $x$ σε μια σφαίρα . Ένα διάνυσμα σε αυτόν τον εφαπτομενικό χώρο αντιπροσωπεύει μια πιθανή ταχύτητα στο $x$ . Αφού αν μετακινηθείτε προς αυτήν την κατεύθυνση ως ένα κοντινό σημείο, τότε η ταχύτητα θα δινόταν από ένα διάνυσμα στον εφαπτόμενο χώρο αυτού του σημείου - έναν διαφορετικό εφαπτόμενο χώρο που δεν εμφανίζεται.

Στη διαφορική γεωμετρία, μπορεί κανείς να βάλει σε κάθε σημείο $x$ μίας διαφορικής πολλαπλότητας έναν εφαπτόμενο χώρο - έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο που περιέχει τις πιθανές κατευθύνσεις στις οποίες μπορεί κανείς να περάσει εφαπτομενικά από το $x$ . Τα στοιχεία του εφαπτόμενου χώρου στο $x$ ονομάζονται εφαπτομενικά διανύσματα στο $x$ . Αυτή είναι μια γενίκευση της έννοιας ενός δεσμευμένου διανύσματος σε έναν ευκλείδειο χώρο . Η διάσταση του εφαπτόμενου χώρου σε κάθε σημείο μιας συνδεδεμένης πολλαπλότητας είναι ίδια με εκείνη της ίδιας της πολλαπλότητας .

Επίσημοι ορισμοί

τότε αποκτούμε έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο, τον οποίο ορίζουμε ως εφαπτομενικό χώρο $T_{x}M$ του $M$ στο $x$ .

Ορισμός μέσω παραγώγων

Ας υποθέσουμε τώρα $M$ είναι μια $C^{\infty }$ πολλαπλότητα. Μια πραγματική αξία $f:M\to \mathbb {R}$ λέγεται ότι ανήκει στο ${C^{\infty }}(M)$ εάν και μόνο εάν για κάθε γράφημα συντεταγμένων $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$, η απεικόνιση $f\circ \varphi ^{-1}:\varphi [U]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ είναι απεριόριστα διαφοροποιήσιμη. Σημειώστε ότι ${C^{\infty }}(M)$ είναι μια πραγματική συσχετιστική άλγεβρα σε σχέση με το προϊόν κατά το σημείο και το άθροισμα των συναρτήσεων και τον κλιματικό πολλαπλασιασμό.

Διαλέξτε ένα σημείο $x\in M$ . Ένα παράγωγο στο $x$ ορίζεται ως γραμμική απεικόνιση $D:{C^{\infty }}(M)\to \mathbb {R}$ που ικανοποιεί την ταυτότητα του Λάιμπνιζ

$\forall f,g\in {C^{\infty }}(M):\qquad D(fg)=D(f)\cdot g(x)+f(x)\cdot D(g),$

Εάν ορίσουμε την πρόσθεσει και τον κλιματικό πολλαπλασιασμό στο σύνολο παραγώγων στο $x$ με

• $(D_{1}+D_{2})(f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~{D}_{1}(f)+{D}_{2}(f)$ και
• $(\lambda \cdot D)(f)~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\lambda \cdot D(f)$ ,

τότε αποκτούμε έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο, τον οποίο ορίζουμε ως εφαπτομενικό χώρο $T_{x}M$ του $M$ στο $x$ .