Χρήστης:Themi97/Μαθηματικά

Μαθηματικά
Συντόμευση	Κατάσταση	Σύγκριση με WP	kB	Παρατηρήσεις
αναγωγή	Αξιόλογο	Καλύτερα	5 - 3	Πιθανές προσθήκες
αξίωμα	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	5 - 27	Πιθανές προσθήκες
απόδειξη	Καλό	Χειρότερα	18 - 28	Πιθανές προσθήκες
Αριθμητική	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	6 - 23	Πιθανές προσθήκες
άρτιοι και περιττοί αριθμοί	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	3 - 9	Πιθανές προσθήκες
γραφική παράσταση				Πιθανές προσθήκες
διάνυσμα	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	38 - 1.663	Πιθανές προσθήκες
εμβαδόν				Πιθανές προσθήκες
εξίσωση	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	2 - 11	Πιθανές προσθήκες
επαγωγή	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	12 - 31	Πιθανές προσθήκες
επιμεριστική	Ανύππαρκτο	Πολύ χειρότερα	0 - 8	Πιθανές προσθήκες
ευθεία				Πιθανές προσθήκες
ευθύγραμμο τμήμα	Εξαιρετικό	Πολύ καλύτερα	10 - 4	Πιθανές προσθήκες
θεώρημα	Αξιόλογο	Καλύτερα	22 - 19	Πιθανές προσθήκες
ισότητα (μαθηματικά)	Ανύππαρκτο	Πολύ χειρότερα	0 - 8	Πιθανές προσθήκες
λογική	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	20 - 50	Πιθανές προσθήκες
Μαθηματικά	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	22 - 50	Πιθανές προσθήκες
μεταβλητή	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	3 - 12	Πιθανές προσθήκες
μήκος	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	3 - 6	Πιθανές προσθήκες
πεντάγωνο	Καλό	Χειρότερα	7 - 9	Πιθανές προσθήκες
πρόταση	Ανύππαρκτο	Πολύ χειρότερα	0 - 10	Πιθανές προσθήκες
Πυθαγόρας	Αξιόλογο	Καλύτερα	55 - 40	Πιθανές προσθήκες
ρητοί αριθμοί	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	7 - 14	Πιθανές προσθήκες
σημείο	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	3 - 6	Πιθανές προσθήκες
συνάρτηση				Πιθανές προσθήκες
σύνολο	Ανεπαρκές	Πολύ χειρότερα	11 - 22	Πιθανές προσθήκες
φυσικοί αριθμοί	Καλό	Χειρότερα	19 - 22	Πιθανές προσθήκες

Σύνολο

Παλιό

Διάγραμμα Venn τομής δύο συνόλων.

Ένα σύνολο είναι μια συλλογή σαφώς διακριτών αντικειμένων (της πραγματικότητας ή και της διαίσθησης ή της σκέψης μας) που θεωρείται ως μια ονότητα και αποτελεί και το ίδιο ένα αντικείμενο. Η έννοια του συνόλου είναι «αρχική έννοια» για τα Μαθηματικά, δηλαδή τη δεχόμαστε αξιωματικά, χωρίς απόδειξη. Παρόλο που εφευρέθηκε (μόλις, δηλαδή σχετικά πρόσφατα) στο τέλος του 19ο αιώνα, η Θεωρία Συνόλων είναι πια ένα πανταχού παρόν τμήμα των Μαθηματικών και μπορεί να θεωρηθεί το θεμέλιο σχεδόν όλης της επιστήμης των Μαθηματικών. Στην Εκπαίδευση, στο μάθημα των Μαθηματικών, κάποια (σχετικά απλά) τμήματά της, όπως τα διαγράμματα Venn, αρχίζουν να διδάσκονται συνήθως από την ύλη του Γυμνασίου (ή τις ανάλογες τάξεις, ανάλογα με τη χώρα), ενώ άλλα (πιο πολύπλοκα) διδάσκονται ως τμήμα της ύλης πανεπιστημιακού επιπέδου.

Ορισμός

O Γκεόργκ Καντόρ, ιδρυτής της Θεωρίας Συνόλων, στο «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre», έδωσε τον ακόλουθο ορισμό για το σύνολο:

« «Σύνολο» ονομάζουμε κάθε συλλογή M, (σαφώς) διακριτών αντικειμένων m (που ονομάζουμε «στοιχεία» του συνόλου M), της διαίσθησης ή της σκέψης μας, που θεωρούμε ως ολότητα.»

Τα αντικείμενα αυτά καλούνται στοιχεία του συνόλου και μπορούν να είναι οτιδήποτε, από αριθμούς μέχρι ανθρώπους ή γράμματα του αλφαβήτου. Ένα σύνολο λοιπόν αποτελείται από στοιχεία. Αν το στοιχείο x ανήκει στο σύνολο Α τότε λέμε ότι το στοιχείο x περιέχεται στο σύνολο A ή ότι το σύνολο A περιέχει το στοιχείο x ή ακόμα ότι το στοιχείο x είναι μέλος του συνόλου A. Χρησιμοποιούμε το συμβολισμό $x\in A$ αν το x ανήκει το A και το συμβολισμό $x\notin A$ αν το x δεν ανήκει στο A.

Υπάρχει ένα σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία. Αυτό το σύνολο ονομάζεται το κενό σύνολο και συμβολίζεται με {} ή με $\varnothing$. Η ύπαρξη αυτού του συνόλου αποτελεί ένα από τα αξιώματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει μόνο ένα κενό σύνολο.

Ισότητα συνόλων

Βασική ιδιότητα των συνόλων γενικά, η οποία είναι απόρροια του παραπάνω ορισμού είναι το γεγονός ότι ένα σύνολο καθορίζεται από τα στοιχεία του, δηλαδή ότι αν τα σύνολα Α και Β έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία τότε είναι ίσα.

$A=B$ αν και μόνο αν $\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)$

Επιπλέον των παραπάνω απαιτούμε από τα στοιχεία ενός συνόλου να είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, το οποίο σημαίνει ότι ένα σύνολο δεν μπορεί να περιέχει περισσότερες από μια φορές ένα στοιχείο.

Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου καλείται πληθικός αριθμός ή πληθάριθμος του συνόλου (συμβολίζεται συνήθως με Ν ή με #). Υπάρχουν πεπερασμένα και άπειρα σύνολα, ανάλογα με το αν ο πληθικός τους αριθμός είναι πεπερασμένος ή άπειρος.

Πώς περιγράφουμε σύνολα

Για να περιγράψουμε ένα σύνολο συνήθως χρησιμοποιούμε δύο άγκιστρα «{» και «}» ανάμεσα στα οποία γράφουμε τα στοιχεία του συνόλου. Για παράδειγμα το σύνολο που περιέχει τους αριθμούς 1, 3 και 5 γράφεται ως εξής: {1,3,5}. Η σειρά με την οποία αναγράφονται τα στοιχεία ενός συνόλου δεν έχει κανένα ρόλο. Ένας δεύτερος τρόπος περιγραφής ενός συνόλου είναι να δώσουμε μια ιδιότητα και να απαιτούμε να ανήκουν στο σύνολο τα στοιχεία που ικανοποιούν την ιδιότητα και μόνο αυτά. Για παράδειγμα το σύνολο των μη αρνητικών άρτιων φυσικών γράφεται ως εξής: ${\begin{Bmatrix}2k:k\in \mathbb {N} \end{Bmatrix}}$.

Παραδείγματα

1. Το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού αλφαβήτου: A = {α, ε, η, ι, ο, υ, ω}.
2. Το σύνολο των μονοψήφιων φυσικών αριθμών: Β = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3. Το σύνολο των κατοίκων του Δήμου Αθηναίων: Γ = {x:x: Κάτοικος του Δήμου Αθηναίων}.
4. Το σύνολο των μαθητριών Γυμνασίου του Νομού Αχαΐας. Δ = {x/x: Μαθήτρια Γυμνασίου του Νομού Αχαΐας}
5. Το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 2010: E = {0, 1, 2}.
6. Το σύνολο των μηνών ενός έτους: Z = {x/x: Μήνας του έτους}.
7. Το σύνολο των γραμμάτων της λέξης «άξιος»: Η = {α, ι, ξ, ο, ς}.
8. Το σύνολο των σημείων που αποτελούν το ευθύγραμμο τμήμα: $\Theta ={X/X\in AB}$.
9. Το σύνολο των αλογόνων. A₇ = {F, Cl, Br, I, At}.
10. Το σύνολο των (φυσικών) δορυφόρων του πλανήτη [[Κρόνος (πλανήτης)]: Δ_Κ = {x/x: Δορυφόρος του Κρόνου}.
11. Το σύνολο των ρητών αριθμών: $\mathbb {Q} =\left\{{\begin{matrix}x:x={\frac {\alpha }{\beta }}\end{matrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbb {Z} ,\beta \neq 0\right\}$
12. Το σύνολο των νοτών μιας οκτάβας: O = {ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι}.

Υποσύνολα

Ένα σύνολο X ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Y και συμβολίζουμε με $X\subseteq Y$, εάν κάθε στοιχείο του X είναι και στοιχείο (ανήκει) του Y δηλαδή ισχύει:

$\forall x(x\in X\rightarrow x\in Y)$

Παραδείγματα:

• το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων
• $\{1,3\}\subseteq \{1,2,3,4\}$
• $\{1,2,3,4\}\subseteq \{1,2,3,4\}$

Αναφέρουμε ότι: το κενό σύνολο $\emptyset$ είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και επίσης κάθε σύνολο Α είναι υποσύνολο του εαυτού του.

• $\varnothing \subseteq A$ για κάθε σύνολο Α
• $A\subseteq A$ για κάθε σύνολο Α

Αν το σύνολο Χ είναι υποσύνολο του Υ αλλά Χ $\neq$ Υ, δηλαδή αν υπάρχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Υ το οποίο να μην ανήκει στο Χ, τότε λέμε ότι το σύνολο Χ είναι γνήσιο υποσύνολο του Υ και το συμβολίζουμε με $X\subset Y$ ή με $X\subsetneq Y$.

Σημαντικά σύνολα

Ορισμένα σύνολα έχουν μεγάλη μαθηματική αξία και αναφέρονται τόσο συχνά στα μαθηματικά κείμενα που έχουν αποκτήσει ειδικά ονομάτα και συμβολισμό για να αναγνωρίζονται. Από τα πιο σημαντικά είναι τα εξής:

• $\mathbb {P}$, το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.
• $\mathbb {N}$, το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {0, 1, 2, 3, ...}.
• $\mathbb {Z}$, το σύνολο όλων των ακεραίων αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
• $\mathbb {Q}$, το σύνολο όλων των ρητών αριθμών. Αυτό γράφεται και ως $\left\{{\begin{matrix}x:x={\frac {\alpha }{\beta }}\end{matrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbb {Z} ,\beta \neq 0\right\}$.
• $\mathbb {R}$, το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
• $\mathbb {C}$, το σύνολο όλων των μιγαδικών αριθμών. Αυτό γράφεται και ως {z:z = x + yi, i²=-1}. $\mathbb {C} \equiv \mathbb {R} ^{2}\equiv \mathbb {R} \times \mathbb {R}$.
• $\mathbb {R} ^{v}\equiv \prod _{i=1}^{v}\mathbb {R}$, το σύνολο των στοιχείων του διανυσματικού χώρου διάστασης $v\in \mathbb {N} ,\;v>2$.

Το καθένα από τα πιο πάνω σύνολα έχει άπειρα στοιχεία, και ισχύει $\mathbb {P} \subset \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {R} ^{v}$.

Υπό διαμόρφωση

Ένα σύνολο είναι μια συλλογή διακριτών αντικειμένων, που θεωρούνται ως μια ολότητα που αποτελεί ένα (νέο) αυτόνομο αντικείμενο. Το σύνολο είναι μια από τις πιο θεμελιώδεις έννοιες των Μαθηματικών. Παρόλο που εφευρέθηκαν στο τέλος του 19ο αιώνα, η Θεωρία Συνόλων είναι πια ένα πανταχού παρόν τμήμα των Μαθηματικών και μπορεί να θεωρηθεί το θεμέλιο σχεδόν όλης της επιστήμης των Μαθηματικών. Στην Εκπαίδευση, στο μάθημα των Μαθηματικών, κάποια (σχετικά απλά) τμήματά της, όπως τα διαγράμματα Venn, αρχίζουν να διδάσκονται συνήθως από την ύλη του Δημοτικού, ενώ άλλα (πιο πολύπλοκα) διδάσκονται ως τμήμα της ύλης πανεπιστημιακού επιπέδου.

Ορισμός

O Γκεόργκ Καντόρ, ιδρυτής της Θεωρίας Συνόλων, στο «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre», έδωσε τον ακόλουθο ορισμό για το σύνολο:

« «Σύνολο» ονομάζουμε κάθε συλλογή M, (σαφώς) διακριτών αντικειμένων m (που ονομάζουμε «στοιχεία» του συνόλου M), της διαίσθησης ή της σκέψης μας, που θεωτρούμε ως ολότητα.»

Τα «στοιχεία» ή «μέλη» ενός συνόλου μπορεί να είναι οτιδήποτε: αριθμοί, άνθρωποι, γράμματα (κάποιου) αλφαβήτου, άλλα σύνολα, κ.ο.κ. Τα σύνολα παριστάνονται συμβατικά με κεφαλαία γράμματα. Τα σύνολα Α και Β είναι ίσα αν και μόνο αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία.

Όπως θα δειχθεί παρακάτω, στα τυπικά Μαθηματικά ο παραπάνω ορισμός αποδεικνύεται ανεπαρκής. Η έννοια του «συνόλου» είναι μια (έννοια) «αρχική», (δηλαδή) χωρίς ορισμό (ή απόδειξη) στην αξιωματική Θεωρία Συνόλων, που οι ιδιότητές της καθορίστηκαν από τα αξιώματα Zermelo–Fraenkel. Οι πιο βσσικές ιδιότηττς είναι ότι τα σύνολα έχουν «στοιχεία» και ότι δυο από αυτά είναι ίσα (δηλαδή στην πραγματικότητα ένα και αυτό) αν έχουν τα ίδια στοιχεία.

Περιγραφή συνόλων

Υπάρχουν δυο τρόποι «περιγραφής» (ενός συνόλου):

1. Με «αναγραφή των μελών» του (μέσα σε αγκύλες ή σε διάγραμμα Venn). Π.χ.:

1. Α = {0, 1, 2}.

2. Β = {γαλάζιο, λευκό}.

3. Γ = {♠, ♣}.

• Κάθε στοιχείο του συνόλου πρέπει να είναι μοναδικό: Δεν πρέπει (δηλαδή) να υπάρχουν δυο μέλη ταυτόσημα. Όλες οι «πράξεις» (μεταξύ) συνόλων προστατεύουν αυτήν την ιδιότητα κάθε στοιχείου του συνόλου να είναι μοναδικό («μοναδικότητα»). Η σειρά αναγραφής των στοιχείων είναι αδιάφορη (αν και αν ταξινομηθούν, το σύνολο γίνεται κάπως πιο ευνόητο). Π.χ.: {0, 1, 2} = {2, 0, 1} = {2, 0, 1, 0} (αν και η τελευταία περιγραφή είναι τυπικά λανθασμένη, αφού δεν τηρεί τη βασική ιδιότητα της μοναδικότητας των στοιχείων).
• Κάθε στοιχείο του συνόλου πρέπει να αναγραφεί με αυτόν τον τρόπο. Ωστόσο στην περίπτωση συνόλων με πολλά (αλλά με γνωστή διαδοχή) στοιχεία (όπως αριθμοί, γράμματα αλφαβήτων, κ.τ.λ.) μπορούν κάποια από αυτά (για πρακτικούς λόγους) απλά να εννοηθούν (αλλά με απόλυτη σαφήνεια) με τη χρήση αποσιωπητικών. Π.χ. Δ = {1901, 1902, 1903,..., 2000} ή Ε = {1, 3, 5,... 99}.
• Σύνολα με μεγάλο πλήθος στοιχείων, χωρίς απόλυτα σαφή διάταξη, ώστε να εννοούνται κάποια από αυτά με αποσιωπητικά είναι δύσκολο, μη πρακτικό ως και αδύνατο να περιγραφούν με αυτόν τον τρόπο.

2. Χρησιμοποιώντας έναν κανόνα (συνήθως μαθηματικό τύπο) ή μια «σημαντική» (δηλαδή απόλυτα σαφή) περιγραφή (και μέσα σε αγκύλες). Π.χ., (για τα ίδια με τα παραπάνω παραδείγματα συνόλων, για να γίνει σύγκριση):

1. Α = {x/x: «Ψηφία του αριθμού 2010»}.

2. Β = {x/x: «Χρώματα της ελληνικής σημαίας»}.

3. Γ = {x/x: «Μαύρα σχήματα της τράπουλας»}.

4. Δ = {x/x: «Έτη του 20ού αιώνα»}.

5. Ε = $\mathrm {2k+1/k\in \mathbb {N} ,2k+1<100}$ = {x:x: «Περιττοί φυσικοί αριθμοί μικρότερη του 100»}.

• Παράδειγμα συνόλου με μη πρακτική μέθοδο την αναγραφή των στοιχείων του είναι: Κ = {x:x: Κάτοικος του Δήμου Αθηναίων}.

Πρόσθετα παραδείγματα περιγραφής και με τις δυο μεθόδους

1. Το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού αλφαβήτου: A = {α, ε, η, ι, ο, υ, ω}.
2. Το σύνολο των μονοψήφιων φυσικών αριθμών: Β = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
3. Το σύνολο των κατοίκων του Δήμου Αθηναίων: Γ = {x/x: Κάτοικος του Δήμου Αθηναίων}.
4. Το σύνολο των μαθητριών Γυμνασίου του Νομού Αχαΐας. Δ = {x/x: Μαθήτρια Γυμνασίου του Νομού Αχαΐας}
5. Το σύνολο των μηνών ενός έτους: Z = {x/x: Μήνας του έτους}.
6. Το σύνολο των γραμμάτων της λέξης «άξιος»: Η = {α, ι, ξ, ο, ς}.
7. Το σύνολο των σημείων που αποτελούν το ευθύγραμμο τμήμα: $\mathrm {\Theta ={X/X\in AB}}$.
8. Το σύνολο των αλογόνων. A₇ = {F, Cl, Br, I, At}.
9. Το σύνολο των (φυσικών) δορυφόρων του πλανήτη [[Κρόνος (πλανήτης)]: Δ_Κ = {x/x: Δορυφόρος του Κρόνου}.
10. Το σύνολο των ρητών αριθμών: $\mathrm {\mathbb {Q} =\left\{{\begin{matrix}x/x={\frac {\alpha }{\beta }}\end{matrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbb {Z} ,\beta \neq 0\right\}}$
11. Το σύνολο των νοτών μιας οκτάβας: O = {ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι}.

Στοιχεία συνόλων

Κύριο άρθρο: Στοιχείο συνόλου

Η βασική σχέση μεταξύ δυο συνόλων είναι η ιδιότητα των (υποψήφιων) στοιχείων να εντάσονται σε αυτό ή και στο άλλο, δηλαδή πότε ακριβώς ένα (υποψήφιο) στοιχείο είναι μέλος του ενός ή και του άλλου. Αν α είναι ένα μέλος του Α, αυτό συμβολίζεται ως $\alpha \in A$. Αν το γ δεν είναι στοιχείο του Β, αυτό συμβολίζεται $\gamma \notin B$. Π.χ. έστω A = {0, 1, 2}, B = {γαλάζιο, λευκό} και $\mathrm {\Gamma ={n^{3}:\ n\in \mathbb {N} ,\ n<50}}$, τότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

1. $\mathrm {2\in A}$.
2. $\mathrm {8\in G}$, αφού 8 = 2³, $\mathrm {2in\mathbb {N} }$ και 2 < 50.
3. Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (Λάθος σύνταξης): {\displaystyle \mathrm{4 \notin A}}} .
4. Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (Λάθος σύνταξης): {\displaystyle \mathrm{κόκκινο \notin B}} .

Υποσύνολα

Κύριο άρθρο: Υποσύνολο

Διάγραμμα Venn που παριστάνει: $\mathrm {A\subset B}$

Αν κάθε μέλος του συνόλου Α είναι επίσης μέλος και του συνόλου Β, τότε λέμε ότι: «Το Α είναι υποσύνολο του Β» και να γράψουμε: $\mathrm {A\subseteq B}$. Ισοδύναμα, βέβαια, μπορούμε να πούμε ότι: «Το Β είναι υπερσύνολο του Α» και γράφουμε: $\mathrm {B\supseteq A}$.

Αν είμαστε σίγουροι ότι το Β περιέχει και άλλα μέλη εκτός από αυτά που περιέχονται στο Α, τότε λέμε ότι: «Το Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Α» και να γράψουμε: $\mathrm {A\subset B}$. Ισοδύναμα, βέβαια, μπορούμε να πούμε ότι: «Το Β είναι γνήσιο υπερσύνολο του Β» και γράφουμε: $\mathrm {B\supset A}$.

• Σημειώστε ότι οι σχέση $\mathrm {A\subset B}$ αποκλείει απόλυτα τη σχέση $\mathrm {A\supset B}$, ενώ αντίθετα, η σχέση $\mathrm {A\subseteq B}$ δεν αποκλείει απόλυτα τη σχέση $\mathrm {A\supseteq B}$ (γιατί και οι δυο περικλείουν την περίπτωση A = B).