Φράκταλ Ροζί

φράκταλ Ροζί

Στα μαθηματικά, το φράκταλ Ροζί είναι ένα μορφοκλασματικό σύνολο που σχετίζεται με την αντικατάσταση Tribonacci

$s(1)=12,\ s(2)=13,\ s(3)=1\,.$

Μελετήθηκε το 1981 από τον Ζεράρ Ροζί (γαλλικά: Gerard Rauzy), με την ιδέα της γενίκευσης των δυναμικών ιδιοτήτων του μορφισμού Φιμπονάτσι. Αυτό το φράκταλ σύνολο μπορεί να γενικευτεί σε άλλους χάρτες πάνω σε ένα αλφάβητο 3 γραμμάτων, δημιουργώντας άλλα φράκταλ σύνολα με ενδιαφέρουσες ιδιότητες, όπως περιοδική πλακόστρωση του επιπέδου και αυτοομοιότητα σε τρία ομοιογενή μέρη.

Ορισμοί

Λέξη Τριμπονάτσι

Η άπειρη λέξη Tribonacci είναι μια λέξη που κατασκευάζεται με την επαναληπτική εφαρμογή του χάρτη Τριμπονάτσι ή Ροζί : $s(1)=12$, $s(2)=13$, $s(3)=1$. Αποτελεί παράδειγμα μορφικής λέξης. Ξεκινώντας από το 1, οι λέξεις Τριμπονάτσι είναι:

• $t_{0}=1$
• $t_{1}=12$
• $t_{2}=1213$
• $t_{3}=1213121$
• $t_{4}=1213121121312$

Μπορούμε να δείξουμε ότι, για $n>2$, $t_{n}=t_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}$; εξ ου και η ονομασία "Τριμπονάτσι".

Κατασκευή φράκταλ

Κατασκευή

Ας θεωρήσουμε, τώρα, τον χώρο $R^{3}$ με καρτεσιανές συντεταγμένες (x,y,z). Το φράκταλ Ροζί κατασκευάζεται με τον ακόλουθο τρόπο:

1) Ερμηνεύουμε την ακολουθία των γραμμάτων της άπειρης λέξης Τριμπονάτσι ως ακολουθία μοναδιαίων διανυσμάτων του χώρου, με τους ακόλουθους κανόνες (1 = κατεύθυνση x, 2 = κατεύθυνση y, 3 = κατεύθυνση z).

2) Στη συνέχεια, κατασκευάστε μια "σκάλα" εντοπίζοντας τα σημεία στα οποία φτάνει αυτή η ακολουθία διανυσμάτων (βλ. σχήμα). Παραδείγματος χάριν, τα πρώτα σημεία είναι:

• $1\Rightarrow (1,0,0)$
• $2\Rightarrow (1,1,0)$
• $1\Rightarrow (2,1,0)$
• $3\Rightarrow (2,1,1)$
• $1\Rightarrow (3,1,1)$

κ.λπ...Κάθε σημείο μπορεί να χρωματιστεί σύμφωνα με το αντίστοιχο γράμμα, για να τονιστεί η ιδιότητα της αυτοομοιότητας.

3) Στη συνέχεια, προβάλλουμε αυτά τα σημεία στο επίπεδο συστολής (επίπεδο ορθογώνιο προς την κύρια κατεύθυνση διάδοσης των σημείων, κανένα από αυτά τα προβαλλόμενα σημεία δεν διαφεύγει στο άπειρο).

Ιδιότητες

• Μπορεί να πλακοστρωθεί με τρία αντίγραφα του εαυτού του, με εμβαδόν μειωμένο κατά τους παράγοντες $k$, $k^{2}$ και $k^{3}$ με $k$ λύση της $k^{3}+k^{2}+k-1=0$: $\scriptstyle {k={\frac {1}{3}}(-1-{\frac {2}{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}}}+{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33}}}})=0.54368901269207636}$.
• Σταθερό κάτω από την ανταλλαγή στοιχείων. Μπορεί να προκύψει το ίδιο σύνολο με την ανταλλαγή της θέσης των αντικειμένων.
• Συνδεδεμένο και απλά συνδεδεμένο. Δεν έχει τρύπα.
• Τοποθετεί περιοδικά πλακάκια στο επίπεδο, με μετάθεση.
• Ο πίνακας του χάρτη Τριμπονάτσι έχει ως χαρακτηριστικό πολυώνυμο $x^{3}-x^{2}-x-1$. Οι ιδιοτιμές του είναι ένας πραγματικός αριθμός $\beta =1.8392$, που ονομάζεται σταθερά Τριμπονάτσι, ένας αριθμός Pisot και δύο μιγαδικοί συζυγείς $\alpha$ και and ${\bar {\alpha }}$ with $\alpha {\bar {\alpha }}=1/\beta$.
• Το σύνορό του είναι φράκταλ, και η διάσταση Χάουσντορφ αυτού του συνόρου ισούται με $2|\alpha |^{3s}+|\alpha |^{4s}=1$.

Παραλλαγές και γενίκευση

Για οποιαδήποτε μονοτροπική αντικατάσταση τύπου Pisot, η οποία επαληθεύει μια συνθήκη σύμπτωσης (προφανώς πάντα επαληθεύεται), μπορεί κανείς να κατασκευάσει ένα παρόμοιο σύνολο που ονομάζεται " Ροζί φράκταλ του χάρτη". Όλα εμφανίζουν αυτοομοιότητα και δημιουργούν, για τα παρακάτω παραδείγματα, ένα περιοδικό πλακάκι του επιπέδου.

• 
  s(1)=12, s(2)=31, s(3)=1
• 
  s(1)=12, s(2)=23, s(3)=312
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=31
• 
  s(1)=123, s(2)=1, s(3)=1132

Βιβλιογραφία

• Arnoux, Pierre; Harriss, Edmund (August 2014). «WHAT IS... a Rauzy Fractal?». Notices of the American Mathematical Society 61 (7): 768–770. doi:10.1090/noti1144. 
• Berthé, Valérie· Siegel, Anne· Thuswaldner, Jörg (2010). «Substitutions, Rauzy fractals and tilings». Στο: Berthé, Valérie· Rigo, Michel. Combinatorics, automata, and number theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 135. Cambridge: Cambridge University Press. σελίδες 248–323. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1247.37015. 
• Lothaire, M. (2005). Applied combinatorics on words. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 105. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84802-2. MR 2165687. Zbl 1133.68067. 
• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie· Ferenczi, Sébastien· Mauduit, Christian· Siegel, Anne, επιμ. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics. 1794. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Topological properties of Rauzy fractals
• Substitutions, Rauzy fractals and tilings, Anne Siegel, 2009
• Rauzy fractals for free group automorphisms, 2006
• Pisot Substitutions and Rauzy fractals
• Rauzy fractals
• Numberphile video about Rauzy fractals and Tribonacci numbers

Δείτε επίσης

• Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
• Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
• Νιφάδα του Κοχ
• Καμπύλη Χίλμπερτ
• Καμπύλη του δράκου
• Σπόγγος του Μένγκερ

• Σύνολο Μάντελμπροτ
• Σύνολο Julia
• Οικοδομήσιμο Σύμπαν