Σύνολο Multibrot

Βίντεο που παρουσιάζει το φράκταλ Multibrot

Στα μαθηματικά, το σύνολο Multibrot είναι το σύνολο των τιμών του μιγαδικού επιπέδου, του οποίου η απόλυτη τιμή παραμένει μικρότερη από μια πεπερασμένη τιμή καθ' όλη τη διάρκεια των επαναλήψεων ενός μέλους της γενικής μονικής μονοσήμαντης πολυωνυμικής οικογένειας αναδρομών^[1]^[2]^[3]. Το όνομα προκύπτει από τις λέξεις multiple (πολλαπλό) και Mandelbrot set (σύνολο Μάντελμπροτ). Το ίδιο μπορεί να εφαρμοστεί και στο σύνολο Julia, το οποίο στην περίπτωση αυτή ονομάζεται σύνολο Multijulia.

z\mapsto z^{d}+c.\,

όπου d ≥ 2. Ο εκθέτης d μπορεί να γενικευτεί σε αρνητικές και κλασματικές τιμές ^[4].

Παραδείγματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

^[5]^[6]

Η περίπτωση της

d=2\,

είναι το κλασικό σύνολο Μάντελμπροτ, από το οποίο προέρχεται και το όνομά του.

Τα σύνολα για άλλες τιμές του d παρουσιάζουν επίσης εικόνες φράκταλ^[7] όταν απεικονίζονται στο μιγαδικό επίπεδο.

Καθένα από τα παραδείγματα διαφόρων δυνάμεων d που παρουσιάζονται παρακάτω απεικονίζεται στην ίδια κλίμακα. Οι τιμές του c που ανήκουν στο σύνολο είναι μαύρες. Οι τιμές του c που έχουν απεριόριστη τιμή υπό αναδρομή, και επομένως δεν ανήκουν στο σύνολο, απεικονίζονται με διαφορετικά χρώματα, τα οποία εμφανίζονται ως περιγράμματα, ανάλογα με τον αριθμό των αναδρομών που προκάλεσαν την υπέρβαση μιας τιμής σε ένα σταθερό μέγεθος στον αλγόριθμο χρόνου διαφυγής (Escape Time).

Θετικές δυνάμεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το παράδειγμα d = 2 είναι το αρχικό Σύνολο Μάντελμπροτ. Τα παραδείγματα για d > 2 συχνά ονομάζονται σύνολα multibrot. Αυτά τα σύνολα περιλαμβάνουν την αρχή και έχουν περιμετρικά φράκταλ, με (d − 1) πλάσια περιστροφική συμμετρία.

Αρνητικές δυνάμεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αρνητικές δυνάμεις Όταν το d είναι αρνητικό, το σύνολο φαίνεται να περιβάλλει την αρχή, αλλά δεν την περιλαμβάνει. Ωστόσο, αυτό είναι απλώς ένα αποτέλεσμα της σταθερής μέγιστης ακτίνας που επιτρέπεται από τον αλγόριθμο του χρόνου διαφυγής και δεν αποτελεί όριο των συνόλων που στην πραγματικότητα έχουν σχήμα στη μέση χωρίς κενό (μπορείτε να το δείτε αυτό χρησιμοποιώντας τον εκθέτη Λιαπούνωφ [Δεν υπάρχει κενό επειδή η αρχή αποκλίνει στο άπειρο και όχι στο άπειρο επειδή η αρχή {0 ή 0+0i} που λαμβάνεται σε αρνητική δύναμη γίνεται απροσδιόριστη]). Τα περιγράμματα μεταξύ του συνόλου και της αρχής παρουσιάζουν μια ενδιαφέρουσα σύνθετη συμπεριφορά, σε μια περιοχή σε σχήμα αστεριού με (1 − d)-fold περιστροφική συμμετρία. Τα σύνολα φαίνεται να έχουν κυκλική περίμετρο, αλλά αυτό είναι απλώς ένα τεχνούργημα της σταθερής μέγιστης ακτίνας που επιτρέπει ο αλγόριθμος χρόνου διαφυγής (Escape Time), και όχι ένα όριο των συνόλων, τα οποία στην πραγματικότητα εκτείνονται προς όλες τις κατευθύνσεις στο άπειρο.

Κλασματικές δυνάμεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η ενσωμάτωση των κλασματικών δυνάμεων δεν δείχνει κάτι ιδιαίτερο, εκτός από την εμφάνιση των αξόνων συμμετρίας που παρατηρούνται με τις ακέραιες δυνάμεις. Η μετάβαση φαίνεται κανονική, με τον νέο άξονα να "εμφανίζεται" χωρίς να προκαλεί ανωμαλίες σε σχέση με τα σχήματα που είχαν ληφθεί προηγουμένως.

Απεικόνιση κατά μήκος του εκθέτη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια εναλλακτική μέθοδος είναι η απόδοση του εκθέτη κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα. Αυτό απαιτεί είτε τον καθορισμό της πραγματικής είτε της φανταστικής τιμής και την απόδοση της υπόλοιπης τιμής κατά μήκος του οριζόντιου άξονα. Το σύνολο που προκύπτει ανεβαίνει κατακόρυφα από την αρχή σε μια στενή στήλη μέχρι το άπειρο. Η μεγέθυνση αποκαλύπτει την αυξανόμενη πολυπλοκότητα. Το πρώτο εμφανές εξόγκωμα ή αιχμή παρατηρείται σε εκθέτη 2, τη θέση του παραδοσιακού συνόλου Μάντελμπροτ στη διατομή του. Η τρίτη εικόνα εδώ αποδίδεται σε ένα επίπεδο που έχει οριστεί σε γωνία 45 μοιρών μεταξύ του πραγματικού και του φανταστικού άξονα.^[8]

Επεξεργασία εικόνων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Διευρυμένο πρώτο τεταρτημόριο του συνόλου multibrot για την επανάληψη z ↦ z-2 + c που αποδίδεται με τον αλγόριθμο του Χρόνου διαφυγής.

Όλες οι παραπάνω εικόνες απεικονίζονται με τη χρήση ενός αλγορίθμου Χρόνου Διαφυγής (Escape Time), ο οποίος αναγνωρίζει με απλό τρόπο τα σημεία εκτός του συνόλου. Πολύ μεγαλύτερη λεπτομέρεια του φράκταλ αποκαλύπτεται με την απεικόνιση του εκθέτη Λιαπούνωφ,^[9] όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα. Ο εκθέτης Λιαπούνωφ είναι ο ρυθμός αύξησης του σφάλματος μιας δεδομένης ακολουθίας. Υπολογίστε πρώτα την ακολουθία επανάληψης με Ν επαναλήψεις, και στη συνέχεια υπολογίστε τον εκθέτη ως εξής

\lambda =\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\ln |\mathbf {z} |

και αν ο εκθέτης είναι αρνητικός, η ακολουθία είναι σταθερή. Τα λευκά εικονοστοιχεία στην εικόνα είναι οι παράμετροι c για τις οποίες ο εκθέτης είναι θετικός ή αλλιώς ασταθής. Τα χρώματα δείχνουν τις περιόδους των κύκλων στις οποίες έλκονται οι τροχιές. Όλα τα σημεία με σκούρο μπλε χρώμα (εξωτερικά) έλκονται από ένα σταθερό σημείο, όλα τα σημεία στη μέση (ανοιχτότερο μπλε) έλκονται από έναν κύκλο περιόδου 2 και ούτω καθεξής.

Ψευδοκώδικας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

ESCAPE TIME ALGORITHM
=====================

for each pixel on the screen do
    x = x0 = x co-ordinate of pixel
    y = y0 = y co-ordinate of pixel
  
    iteration := 0
    max_iteration := 1000
  
    while (x*x + y*y ≤ (2*2) and iteration < max_iteration do
        /* INSERT CODE(S)FOR Z^d FROM TABLE BELOW */
        iteration := iteration + 1
  
    if iteration = max_iteration then
        colour := black
    else
        colour := iteration
  
    plot(x0, y0, colour)

Η μιγαδική τιμή z έχει συντεταγμένες (x,y) στο μιγαδικό επίπεδο και ανυψώνεται σε διάφορες δυνάμεις εντός του βρόχου επανάληψης με τους κωδικούς που φαίνονται σε αυτόν τον πίνακα. Δυνάμεις που δεν φαίνονται στον πίνακα μπορούν να ληφθούν με τη συνένωση των κωδικών που φαίνονται.

z⁻¹

z² (για το σύνολο Μάντελμπροτ)

z³

z⁵

zⁿ

d=x^2+y^2
if d=0 then ESCAPE
x = x/d + a
y= -y/d + b

xtmp=x^2-y^2 + a
y=2*x*y + b
x=xtmp

xtmp=x^3-3*x*y^2 + a
y=3*x^2*y-y^3 + b
x=xtmp

xtmp=x^5-10*x^3*y^2+5*x*y^4 + a
y=5*x^4*y-10*x^2*y^3+y^5 + b
x=xtmp

xtmp=(x*x+y*y)^(n/2)*cos(n*atan2(y,x)) + a
y=(x*x+y*y)^(n/2)*sin(n*atan2(y,x)) + b
x=xtmp

^[10]

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Benoît Mandelbrot: How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. In: Science, 156, 5. Mai 1967, S. 636–638; (math.yale.edu Αρχειοθετήθηκε 2010-06-22 στο Wayback Machine. (PDF; 32 kB); englisch).
Benoît Mandelbrot: Fractals: Form, chance, and dimension. W.H. Freeman and Company, San Francisco 1977, ISBN 978-0-7167-0473-7.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ «Definition of multibrots». Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2008.
↑ «Multibrots». Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2008. ^{[νεκρός σύνδεσμος]}
↑ Wolf Jung. «Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set» (PDF). σελ. 23. The Multibrot set Md is the connectedness locus of the family of unicritical polynomials z^d + c, d ≥ 2
↑ «WolframAlpha Computation Knowledge Engine».
↑ «23 pretty JavaScript fractals». 23 Οκτωβρίου 2008. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 11 Αυγούστου 2014.
↑ «Javascript Fractals». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Αυγούστου 2014.
↑ «Animated morph of multibrots d = −7 to 7». Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2008.
↑ Fractal Generator, "Multibrot Slice"
↑ Ken Shirriff (Sep 1993). «An Investigation of Fractals Generated by z → 1/zⁿ + c». Computers & Graphics 17 (5): 603–607. doi:10.1016/0097-8493(93)90012-x. http://www.righto.com/papers/frac3.ps. Ανακτήθηκε στις 2008-09-28.
↑ P.-O. Parisé & D. Rochon. A study of dynamics of the tricomplex polynomial ηp+c, Non Lin. Din., (2015), https://link.springer.com/article/10.1007/s11071-015-2146-6

[1] «Definition of multibrots». Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2008.

[2] «Multibrots». Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2008. ^{[νεκρός σύνδεσμος]}

[3] Wolf Jung. «Homeomorphisms on Edges of the Mandelbrot Set» (PDF). σελ. 23. The Multibrot set Md is the connectedness locus of the family of unicritical polynomials z^d + c, d ≥ 2

[4] «WolframAlpha Computation Knowledge Engine».

[5] «23 pretty JavaScript fractals». 23 Οκτωβρίου 2008. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 11 Αυγούστου 2014.

[6] «Javascript Fractals». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Αυγούστου 2014.

[7] «Animated morph of multibrots d = −7 to 7». Ανακτήθηκε στις 28 Σεπτεμβρίου 2008.

[8] Fractal Generator, "Multibrot Slice"

[9] Ken Shirriff (Sep 1993). «An Investigation of Fractals Generated by z → 1/zⁿ + c». Computers & Graphics 17 (5): 603–607. doi:10.1016/0097-8493(93)90012-x. http://www.righto.com/papers/frac3.ps. Ανακτήθηκε στις 2008-09-28.

[10] P.-O. Parisé & D. Rochon. A study of dynamics of the tricomplex polynomial ηp+c, Non Lin. Din., (2015), https://link.springer.com/article/10.1007/s11071-015-2146-6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]