Αρχείο:Mandelbrot set - multiplier map.png

Μέγεθος αυτής της προεπισκόπησης: 600 × 600 εικονοστοιχεία . Άλλες αναλύσεις: 240 × 240 εικονοστοιχεία | 480 × 480 εικονοστοιχεία | 1.000 × 1.000 εικονοστοιχεία.

Εικόνα σε υψηλότερη ανάλυση ‎(1.000 × 1.000 εικονοστοιχεία, μέγεθος αρχείου: 18 KB, τύπος MIME: image/png)

Αυτό το αρχείο και η περιγραφή του προέρχονται από το Wikimedia Commons. Οι πληροφορίες από την σελίδα περιγραφής του εκεί εμφανίζονται παρακάτω.

Σύνοψη

ΠεριγραφήMandelbrot set - multiplier map.png	English: Uniformization of the Mandelbrot set component's interior using multiplier map: internal rays , internal coordinate
Ημερομηνία	14 Μαΐου 2017
Πηγή	Own work. I use: the code and algorithm by Claude Heiland-Allen, algorithms and descriptions by Robert P. Munafo
Δημιουργός	Adam majewski
άλλες εκδόσεις	interior_coordinates_in_the_mandelbrot_set by Claude Heiland-Allen Displaying the Internal Structure of the Mandelbrot Set by A Cunningham Number Sequences in the Mandelbrot Set by the Mathemagicians' Guild on the dynamic plane : A Thompson Group for the Basilica by James Belk, Bradley Forrest, see fig 11 Mandelbrot set for with external and internal rays internal rays of Julia set Internal ray for angle 1/3 of main cardioid of Mandelbrot set as an image of internal ray of unit circle under conformal map $\gamma _{1}\,$ Uniformization of the exterior: External rays and equipotential lines of Mandelbrot set as an images of external rays and circles of unit circle under Jungreis function explicit exterior uniuformization of the dynamic plane

Αδειοδότηση

Εγώ, ο κάτοχος των πνευματικών δικαιωμάτων αυτού του έργου, το δημοσιεύω δια του παρόντος υπό την εξής άδεια χρήσης:

Το αρχείο διανέμεται υπό την άδεια Creative Commons Αναφορά προέλευσης-Παρόμοια διανομή 4.0 Διεθνής

Είστε ελεύθερος:

να μοιραστείτε – να αντιγράψετε, διανέμετε και να μεταδώσετε το έργο
να διασκευάσετε – να τροποποιήσετε το έργο

Υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

αναφορά προέλευσης – Θα πρέπει να κάνετε κατάλληλη αναφορά, να παρέχετε σύνδεσμο για την άδεια και να επισημάνετε εάν έγιναν αλλαγές. Μπορείτε να το κάνετε με οποιοδήποτε αιτιολογήσιμο λόγο, χωρίς όμως να εννοείται με οποιονδήποτε τρόπο ότι εγκρίνουν εσάς ή τη χρήση του έργου από εσάς.
παρόμοια διανομή – Εάν αλλάξετε, τροποποιήσετε ή δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό, μπορείτε να διανείμετε αυτό που θα προκύψει μόνο υπό τους όρους της ίδιας ή συμβατής άδειας με το πρωτότυπο.

compare with

Σύνοψη

choose rectangle of complex plane
for every point c of the rectangle
- find periodic point ( for periods from 1 to pMax)^[1]
  - if ther is no periodic ( = exterior or period > pMax or not enough precision or not enough iterations ??? ) then mark as the exterior
  - else compute it's multiplier = map it to standard plane ( multiplier map converts hyperbolic component to unit circle)

for (int p = 1; p < pMax; p++){
      
      if( cabs(c)<=2){
      w =  MultiplierMap(c,p);
      //if (p>2 ) printf (" w = %f ; %f p = %d \n", creal(w), cimag(w), p); 
      iRadius = cabs(w);
      if ( iRadius <= 1.0) {
           iAngle = GiveTurn(w);
           period=p;
           //if (p>2 ) printf (" c = %f ; %f p = %d \n", creal(c), cimag(c), p); 
           break;}
      }   }

multiplier map

Multiplier map $\lambda$ associated with hyperbolic component $\mathrm {H}$ gives an explicit uniformization of hyperbolic component $\mathrm {H}$ by the unit disk $\mathbb {D}$ :

$\lambda _{p}:\mathrm {H} \to \mathbb {D}$

In other words it maps hyperbolic component H to unit disk D.

It maps point c from parameter plane to point b from reference plane:

$\lambda _{p}(c)=w$

where:

c is a point in the parameter plane
w is a point in the reference plane. It is complex number
$\lambda$ is a multiplier map

Multiplier map is a conformal isomorphism.^[2]

For period:

1 has explicit form
2 has explicit form^[3]
3
- has explicit form but there are 3 components and each has it's own equation
- can be computed numericallly
for periods > 3 must be computed numerically ( AproximateMultiplierMap - Newton_method )

complex double MultiplierMap(complex double c, int period){

complex double w;
switch(period){
case 1: w = 1.0 - csqrt(1.0-4.0*c); 	break; // explicit
case 2: w = 4.0*c + 4; 			break; //explicit
default:w = AproximateMultiplierMap(c, period, EPS2, ER2); 	break; // 

}

return w;

}

Note that period=0 denotes exterior of Mandelbrot set. Here different map ( Riemann map) is used. It is called Boettcher map.

to do

add more precision ( one can see some erors on image : pots in place where should not be any hyperbolic omponents)
add Riemann map ( exterior to unit disc = Boettcher coordinate)
add boundary
- abs(multiplier (c)) = 1.0 +- eps
- DEM/M

c src code

/*

Multiplier map
https://en.wikibooks.org/wiki/Fractals/Iterations_in_the_complex_plane/Mandelbrot_set#internal_coordinate_and_multiplier_map

algorithm: 
https://mathr.co.uk/blog/2013-04-01_interior_coordinates_in_the_mandelbrot_set.html
by Claude Heiland-Allen

code mostly based on the : 
 http://mathr.co.uk/blog/2014-11-02_practical_interior_distance_rendering.html
 http://mathr.co.uk/blog/2013-04-01_interior_coordinates_in_the_mandelbrot_set.html
by 

 gcc -std=c99 -Wall -Wextra -pedantic -O3 -fopenmp m2.c -lm
 
 
 
 */

#include <complex.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

const double pi = 3.141592653589793;
const double infinity = 1.0 / 0.0;
const double colour_modulus = 5.7581917135421046e-2; // (1.0 + 1.0 / (phi * phi)) / 24.0;
const double ER2 = 2.0 * 2.0; // ER*ER
const double EPS2 = 1e-100 * 1e-100; // EPS*EPS

static inline double cabs2(complex double z) {
  return creal(z) * creal(z) + cimag(z) * cimag(z);
}

static inline unsigned char *image_new(int width, int height) {
  return malloc(width * height * 3);
}

static inline void image_delete(unsigned char *image) {
  free(image);
}

static inline void image_save_ppm(unsigned char *image, int width, int height, const char *filename) {
  FILE *f = fopen(filename, "wb");
  if (f) {
    fprintf(f, "P6\n%d %d\n255\n", width, height);
    fwrite(image, width * height * 3, 1, f);
    fclose(f);
  } else {
    fprintf(stderr, "ERROR saving `%s'\n", filename);
  }
}

static inline void image_poke(unsigned char *image, int width, int i, int j, int r, int g, int b) {
  int k = (width * j + i) * 3;
  image[k++] = r;
  image[k++] = g;
  image[k  ] = b;
}

static inline void colour_hsv_to_rgb(double h, double s, double v, double *r, double *g, double *b) {
  double i, f, p, q, t;
  if (s == 0) { *r = *g = *b = v; } else {
    h = 6 * (h - floor(h));
    int ii = i = floor(h);
    f = h - i;
    p = v * (1 - s);
    q = v * (1 - (s * f));
    t = v * (1 - (s * (1 - f)));
    switch(ii) {
    case 0: *r = v; *g = t; *b = p; break;
    case 1: *r = q; *g = v; *b = p; break;
    case 2: *r = p; *g = v; *b = t; break;
    case 3: *r = p; *g = q; *b = v; break;
    case 4: *r = t; *g = p; *b = v; break;
    default:*r = v; *g = p; *b = q; break;
    }
  }
}

static inline void colour_to_bytes(double r, double g, double b, int *r_out, int *g_out, int *b_out) {
  *r_out = fmin(fmax(255 * r, 0), 255);
  *g_out = fmin(fmax(255 * g, 0), 255);
  *b_out = fmin(fmax(255 * b, 0), 255);
}

static inline void colour_mandelbrot(unsigned char *image, int width, int i, int j, int period, double intRadius, double intAngle) {
  double r, g, b;
  
 /* if position > 1 then we have repetition of colors it maybe useful    */
      
  //if (intRadius > 1.0) intRadius -= 1.0; // normalize 
  
 
  
  
    
  colour_hsv_to_rgb(period * colour_modulus, 0.5, 1.0, &r, &g, &b); // changed b from tanh(distance )to 1.0 
  int ir, ig, ib;
  colour_to_bytes(r, g, b, &ir, &ig, &ib);
  
  //generate internal grid 
  if (intRadius <1.0){
    int rMax=10; /* number of color segments */
    double m=rMax* intRadius;
    int im=(int)m; // integer of m
 
    //if (intAngle > 1.0) intAngle -= 1.0; // normalize 
    int aMax=12; /* number of color segments */
    double k=aMax* intAngle;
    int ik =(int)k; // integer of m
    
     if ( im % 2 ) {ir -=40; }
     if ( ik % 2 ) {ig -=40; }
   }
   
   
   image_poke(image, width, i, j, ir, ig, ib);
   
}

/* newton function : N(z) = z - (fp(z)-z)/f'(z)) */

complex double N( complex double c, complex double zn , int pMax, double er2){

  
complex double z = zn;
complex double d = 1.0; /* d = first derivative with respect to z */
int p; 

for (p=0; p < pMax; p++){

   //printf ("p = %d ;  z = %f ; %f ;  d = %f ; %f \n", p, creal(z), cimag(z), creal(d), cimag(d)); 
   d = 2*z*d; /* first derivative with respect to z */
   z = z*z +c ; /* complex quadratic polynomial */
   //if (cabs(z) >er2) break;
    
}

 
 
 //printf (" next \n\n"); 
 //if ( cabs2(d) > 2) 
     z = zn - (z - zn)/(d - 1) ;
    
 

return z;
}

/* 
compute periodic point 
of complex quadratic polynomial
using Newton iteration = numerical method 

*/

complex double GivePeriodic(complex double c, complex double z0, int period, double eps2, double er2){

complex double z = z0;
complex double zPrev = z0; // prevoiuus value of z
int n ; // iteration
const int nMax = 64;

for (n=0; n<nMax; n++) {
     
    z = N( c, z, period, er2);
    if (cabs2(z - zPrev)< eps2) break;
    
    zPrev = z; }

return z;
}

complex double AproximateMultiplierMap(complex double c, int period, double eps2, double er2){
     
     complex double z;  // variable z 
     complex double zp ; // periodic point 
     complex double zcr = 0.0; // critical point
     complex double d = 1;
     complex double w;
     
     int p;
     
     zp =  GivePeriodic( c, zcr, period,  eps2, er2); // Find periodic point z0 such that f^p(z0,c)=z0 using Newton's method in one complex variable
     //zp = find(-1, 0, period, c); 
     //printf (" zp = %f ; %f p = %d \n", creal(zp), cimag(zp), period); 
     
     // Find w by evaluating first derivative with respect to z of f^p at z0 
     if ( cabs2(zp)<er2) {
     
     //printf (" zp = %f ; %f p = %d \n", creal(zp), cimag(zp), period); 
     z = zp;
     for (p=0; p < period; p++){
        d = 2*z*d; /* first derivative with respect to z */
        z = z*z +c ; /* complex quadratic polynomial */
     
          }
          
          
     
     
     }
     else d= 10000;

return d;
}

complex double MultiplierMap(complex double c, int period){

complex double w;
switch(period){
case 1: w = 1.0 - csqrt(1.0-4.0*c); 	break; // explicit
case 2: w = 4.0*c + 4; 			break; //explicit
default:w = AproximateMultiplierMap(c, period, EPS2, ER2); 	break; // 

}

return w;

}

/*
carg_t(z):=
 block(
 [t],
 t:carg(z)/(2*%pi),  // now in turns 
 if t<0 then t:t+1, // map from (-1/2,1/2] to [0, 1) 
 return(t)
)$

*/

double GiveTurn( double complex z){
double t;

  t =  carg(z);
  t /= 2*pi; // now in turns
  if (t<0.0) t += 1.0; // map from (-1/2,1/2] to [0, 1) 
  return (t);
}

static inline void render(unsigned char *image,  int pMax, int width, int height, complex double center, double radius) {

  double pixel_spacing = radius / (height / 2.0);

   #pragma omp parallel for schedule(dynamic, 1)
    for (int j = 0; j < height; ++j) {
     for (int i = 0; i < width; ++i) {
      
      double x = i + 0.5 - width / 2.0;
      double y = height / 2.0 - j - 0.5;
      complex double c = center + pixel_spacing * (x + I * y);
      
      
      complex double w; // b(c):= (sqrt(1-4*c)+1)/4;
      double iRadius;
      double iAngle = 0.0;
      int period = 0;

      // find period and w 
      for (int p = 1; p < pMax; p++){
      
      if( cabs(c)<=2){
      w =  MultiplierMap(c,p);
      //if (p>2 ) printf (" w = %f ; %f p = %d \n", creal(w), cimag(w), p); 
      iRadius = cabs(w);
      if ( iRadius <= 1.0) {
           iAngle = GiveTurn(w);
           period=p;
           //if (p>2 ) printf (" c = %f ; %f p = %d \n", creal(c), cimag(c), p); 
           break;}
      }   } 
      // colour 
      colour_mandelbrot(image, width, i, j, period, iRadius, iAngle);
 
    }
  }
}

int main() {

  

  
 // int MaxIters = 100;
  int PeriodMax = 10;
  int width = 1000;
  int height = 1000;
  complex double center = -0.75 ;
  double radius = 1.5;
  const char *filename = "3.ppm";
 
  unsigned char *image = image_new(width, height);

  render(image,  PeriodMax, width, height, center, radius);
  image_save_ppm(image, width, height, filename);
  image_delete(image);
  
  
 /* 
  complex double z;
  z = GivePeriodic(-0.965 + 0.085*I , 0.0, 2, EPS2, ER2);
  printf (" z = %f ; %f \n",  creal(z), cimag(z)); 
  z = GivePeriodic(-0.965 + 0.085*I , 0.0, 2, EPS2, ER2);
  printf (" z = %f ; %f \n",  creal(z), cimag(z)); 
  */

  return 0;
}

references

Ιστορικό αρχείου

Κλικάρετε σε μια ημερομηνία/ώρα για να δείτε το αρχείο όπως εμφανιζόταν εκείνη τη στιγμή.

	Ώρα/Ημερομ.	Μικρογραφία	Διαστάσεις	Χρήστης	Σχόλια
τελευταία	18:53, 2 Ιουνίου 2017		1.000 × 1.000 (18 KB)	Soul windsurfer	User created page with UploadWizard

Συνδέσεις αρχείου

Τα παρακάτω λήμματα συνδέουν σε αυτό το αρχείο:

Μιγαδικό τετραγωνικό πολυώνυμο

Καθολική χρήση αρχείου

Τα ακόλουθα άλλα wiki χρησιμοποιούν αυτό το αρχείο:

Χρήση σε en.wikipedia.org
- Complex quadratic polynomial
Χρήση σε en.wikibooks.org

Μεταδεδομένα

Αυτό το αρχείο περιέχει πρόσθετες πληροφορίες, πιθανόν από την ψηφιακή φωτογραφική μηχανή ή το scanner που χρησιμοποιήθηκε για την δημιουργία ή την ψηφιοποίησή της. Αν το αρχείο έχει τροποποιηθεί από την αρχική του κατάσταση, ορισμένες λεπτομέρειες πιθανόν να μην αντιστοιχούν πλήρως στην τροποποιημένη εικόνα.

Ημερομηνία και ώρα τελευταίας επεξεργασίας αρχείου	20:02, 13 Μαΐου 2017

[1] terior_coordinates_in_the_mandelbrot_set by Claude Heiland-Allen

[2] Conformal Geometry and Dynamics of Quadratic Polynomials Mikhail Lyubich

[3] Exact Coordinates by Robert P. Munafo, 2003 Sep 22.

[1]

[2]

[3]

Αρχείο:Mandelbrot set - multiplier map.png

Περιεχόμενα

Σύνοψη

Αδειοδότηση

compare with

Σύνοψη

multiplier map

to do

c src code

references

Λεζάντες

Items portrayed in this file

απεικονίζει

δημιουργός

some value

καθεστώς πνευματικών δικαιωμάτων

προστατεύεται από πνευματικά δικαιώματα

άδεια χρήσης

Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International ^{Αγγλικά}

ημερομηνία ίδρυσης ή δημιουργίας

14 Μαΐου 2017

τύπος αρχείου

image/png

Ιστορικό αρχείου

Συνδέσεις αρχείου

Καθολική χρήση αρχείου

Μεταδεδομένα

Σύνοψη

Αδειοδότηση

compare with

Σύνοψη

multiplier map

to do

c src code

references

Λεζάντες

Items portrayed in this file

απεικονίζει

δημιουργός

some value

καθεστώς πνευματικών δικαιωμάτων

προστατεύεται από πνευματικά δικαιώματα

άδεια χρήσης

Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International Αγγλικά

ημερομηνία ίδρυσης ή δημιουργίας

14 Μαΐου 2017

τύπος αρχείου

image/png

Ιστορικό αρχείου

Συνδέσεις αρχείου

Καθολική χρήση αρχείου

Μεταδεδομένα

Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International ^{Αγγλικά}