Χρήστης:Nikiminaidou/πρόχειρο

Iδιότητες

Πολλαπλασιασμός των αριθμών 0-10.Ετικέτες γραμμής = πολλαπλασιαστέα.Άξονα Χ = πολλαπλασιαστής. Άξονας Υ = προϊόντος.

Για τους φυσικούς αριθμούς, ακέραιους αριθμούς, κλάσματα, πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς,ο πολλαπλασιασμός έχει ορισμένες ιδιότητες:

Αντιμεταθετική ιδιότητα

Η σειρά με την οποία πολλαπλασιάζονται δύο αριθμoί δεν έχει σημασία:

$x\cdot y=y\cdot x$.

Προσεταιριστική ιδιότητα

Εκφράσεις που αφορούν αποκλειστικά τον πολλαπλασιασμό ή την πρόσθεση είναι αμετάβλητες σε σχέση με την σειρά των πράξεων :

$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$

Επιμεριστική ιδιότητα

Διατήρείται στην σχεση πολλαπλασιασμός επί προσθεση. Αυτή η ταυτότητα είναι πρωταρχικής σημασίας για την απλούστευση αλγεβρικών εκφράσεων:

$x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

Ουδέτερο στοιχειο

Η πολλαπλασιαστική ταυτότητα είναι 1. Οτιδήποτε πολλαπλασιάζεται με το ένα είναι το ίδιο. Αυτό είναι γνωστό ως η ταυτοτική ιδιότητα:

$x\cdot 1=x$

Μηδενικό στοιχείο

Οποιοσδήποτε αριθμός που πολλαπλασιάζεται με το μηδέν είναι μηδέν. Αυτό είναι γνωστό ως η μηδενική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού.

$x\cdot 0=0$

Το μηδέν μερικές φορές δεν περιλαμβάνεται μεταξύ των φυσικών αριθμών.

Υπάρχουν πολλές περαιτέρω ιδιότητες του πολλαπλασιασμού οι οποίες όμως δεν ικανοποιούνται από όλα τα είδη των αριθμών.

Άρνηση

Μείον ένα επί οποιονδήποτε αριθμό ισούται με το αντίθετο του εν λόγω αριθμού.

$(-1)\cdot x=(-x)$

Μείον ένα επί μείον ένα είναι θετικός αριθμός.

$(-1)\cdot (-1)=1$

Οι φυσικοί αριθμοί δεν περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς.

Ανάστροφο στοιχείο

Κάθε αριθμός x, εκτός από το μηδέν, έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο, ${\frac {1}{x}}$, έτσι ώστε $x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1$.

Διατήρηση Τάξης

Ο πολλαπλασιασμός με ένα θετικό αριθμό διατηρεί την τάξη: εάν a > 0, στη συνέχεια, αν b > c τότεab > ac. Ο πολλαπλασιασμός με έναν αρνητικό αριθμό αντιστρέφει την τάξη,δηλαδή την ανισότητα μας, ώστε: αν ένας a < 0 και b > c τότεab < ac.

Οι μιγαδικοί αριθμοί δεν έχουν σταθερή τάξη.

Άλλα μαθηματικά συστήματα, που έχουν την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού μπορεί να μην έχουν όλες αυτές τις ιδιότητες. Για παράδειγμα, ο πολλαπλασιασμός δεν είναι, σε γενικές γραμμές, αντιμεταθετικός για τους πίνακες και quaternions .

Αξιώματα

Στο βιβλίο Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano προτείνει διάφορα αξιώματα για την αριθμητική, με βάση τα αξιώματα για τους φυσικούς αριθμούς. [ 3 ]Η Αριθμητική Peano έχει δύο αξιώματα για τον πολλαπλασιασμό:.

$x\times 0=0$

$x\times S(y)=(x\times y)+x$

Εδώ S(y) αντιπροσωπεύει τον διάδοχο του y,ή το φυσικό αριθμό που ακολουθεί τον y.Οι διάφορες ιδιότητες, όπως η συσχέτιση μπορεί να αποδειχθεί από αυτά και τα υπόλοιπα αξιώματα της αριθμητικής Peano συμπεριλαμβανομένης της επαγωγής.Για παράδειγμα S(0).συμβολίζεται με 1,είναι μια πολλαπλασιαστική ταυτότητας επειδή

$x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x$

Τα αξιώματα για τους ακεραίους συνήθως καθορίζουν τις κλάσεις ισοδυναμίας για διατεταγμένα ζεύγη των φυσικών αριθμών. Το μοντέλο βασίζεται στη αντιμετώπιση του (x,y) ως ισοδύναμο με το x−y όταν x και y αντιμετωπίζονται ως ακέραιοι. Έτσι, και τα δύο (0,1) και (1,2) είναι ισοδύναμα με το −1. Το αξίωμα του πολλαπλασιασμού για ακέραιους αριθμούς που ορίζονται με αυτόν τον τρόπο είναι

$(x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p})$

Ο κανόνας ότι −1 × −1 = 1 μπορεί στη συνέχεια να συναχθεί από

$(0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0)$

Ο πολλαπλασιασμός επεκτείνεται με παρόμοιο τρόπο στους ρητούς αριθμούς και μετά στους πραγματικούς αριθμούς.

Πολλαπλασιασμός με την θεωρία των συνόλων

Είναι δυνατόν, αν και αρκετά δύσκολο όμως ,να δημιουργήσετε ένα αναδρομικό ορισμό του πολλαπλασιασμού με τη θεωρία των συνόλων. Ένα τέτοιο σύστημα βασίζεται συνήθως στην Peano ορισμός του πολλαπλασιασμού.

Καρτεσιανό γινόμενο

Ο ορισμός του πολλαπλασιασμού ως επαναλαμβανόμενηπρόσθεση παρέχει έναν τρόπο για να καταλήξουμε σε μια ερμηνεία συνολοθεωρητική του πολλαπλασιασμού τωνκαρδινάλιων αριθμων.Στην έκφραση

$\displaystyle n\cdot a=\underbrace {a+\cdots +a} _{n},$

Εάν πάρουμε την ξένη ένωση των n αντιγράφων του aτότε σαφώς θα πρέπει να διασπαστούν, ένας προφανής τρόπος για να γίνει αυτό είναι να χρησιμοποιήσετε είτε ένα a ή n έτσι ώστε το ένα να είναι ενδεικτικό για το άλλο. Στη συνέχεια, τα μέλη της $n\cdot a\,$ είναι ακριβώς εκείνα του Καρτεσιανού γινομένου $n\times a\,$. Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού όπως εφαρμόζονται στους φυσικούς αριθμούς ,εφαρμόζονται αντίστοιχα και στο καρτεσιανό γινόμενο.

Πολλαπλασιασμός στην Θεωρία Ομάδων

Υπάρχουν πολλά σύνολα που, στο πλαίσιο της πράξης του πολλαπλασιασμού, ικανοποιούν τα αξιώματα που καθορίζουν την δομή μιας ομάδας. Αυτά τα αξιώματα είναι το σύνολο να είναι κλειστό ως προς την πράξη του πολλαπλασιασμού,η συσχέτιση, και η ύπαρξη ενός ουδέτερου στοιχείου και αντίστροφου. Ένα απλό παράδειγμα είναι το σύνολο των μη μηδενικώνρητών αριθμών.Εδώ έχουμε ουδέτερο στοιχείο το 1, σε αντίθεση με τις προσθετικές ομάδες, όπου το ουδέτερο είναι τυπικά το 0. Σημειώστε ότι με τους ρητούς, θα πρέπει να αποκλείεται το μηδέν, επειδή, στον πολλαπλασιασμό, δεν έχει αντίστροφο: δεν υπάρχει ρητός αριθμός που μπορεί να πολλαπλασιάζεται με το μηδέν και να καταλήξει σε 1. Σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε μια αβελιανή ομάδα, αλλά αυτό δεν ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις.

Για να το δούμε αυτό, ας δούμε το σύνολο των τετραγωνικών αναστρέψιμου πινάκων δοθείσας διάστασης, πάνω από ένα συγκεκριμένο πεδίο. Τώρα είναι εύκολο να εξακριβωθεί το κλείσιμο,η συσχέτιση, και η ένταξη του μοναδιαίου μοναδιαίος πίνακας) και αντίστροφου. Ωστόσο,ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, ως εκ τούτου αυτή η ομάδα δεν είναι αβελιανή.

Αξίζει να σημειωθεί ότι ο πολλαπλασιασμός ακεραίων δεν είναι μια ομάδα, ακόμα και αν εξαιρέσουμε το μηδέν. Αυτό φαίνεται εύκολα από την ανυπαρξία ενός αντίστροφου για όλα τα στοιχεία πλην των 1 και -1.

Ο Πολλαπλασιασμός στην θεωρία ομάδων συνήθως συμβολίζεται είτε από μια τελεία, ή με αντιπαράθεση (η παράλειψη ενός συμβόλου της πράξης μεταξύ των στοιχείων). Έτσι, πολλαπλασιάζοντας το στοιχείο a από το στοιχείο b θα μπορούσε να συμβολιστεί ως a $\cdot$ b ή ab.Όταν αναφερόμαστε σε μια ομάδα με την ένδειξη του συνόλου και της πράξης, τότε η τελεία χρησιμοποιείται για τον πολλαπλασιασμό π.χ., πρώτο παράδειγμα μας θα μπορούσε να υποδεικνύεται από το $\left(\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot \right)$

Πολλαπλασιασμός των διαφόρων ειδών των αριθμών

Με τους αριθμούς μπορούμε να αριθμήσουμε(3 μήλα),να διατάξουμε (το 3ο μήλο), ή να μετρήσουμε (3,5 μέτρα ύψος).Όσο η ιστορία των μαθηματικών έχει προχωρήσει από το μέτρημα στα δάχτυλά μας στην μοντελοποίηση κβαντομηχανική, ο πολλαπλασιασμός έχει γενικευτεί σε πιο πολύπλοκες και αφηρημένες μορφές των αριθμών, και σε πράγματα που δεν είναι αριθμοί (όπως πίνακες ) ή δεν φαίνονται σαν αριθμούς (όπως τα quaternions).

Ακέραιοι

$N\times M$ είναι το άθροισμα των M αντιγράφων του N όταν το Nκαι M είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Αυτό δίνει τον αριθμό των πραγμάτων σε ένα πίνακα N πλάτους και M ύψους. Γενίκευση σε αρνητικούς αριθμούς μπορεί να γίνει από $N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)$ and $(-N)\times (-M)=N\times M$.Οι ίδιοι προσημικοί κανόνες ισχύουν και για τους ρητούς και τους πραγματικούς αριθμούς.

Ρητοί Αριθμοί

Γενίκευση σε κλάσματα fractions ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}$ προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των αριθμητών και παρονομαστών αντίστοιχα: ${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$.Αυτό δίνει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου ${\frac {A}{B}}$ υψηλό και ${\frac {C}{D}}$ ευρύ, και είναι το ίδιο με τον αριθμό των πραγμάτων σε ένα πίνακα όταν οι ρητοί αριθμοί τυχαίνει να είναι ακέραιοι αριθμοί.

Πραγματικοί Αριθμοί

$(x)(y)$ είναι το όριο των γινομένων των αντίστοιχων όρων σε ορισμένες ακολουθίες ρητών που συγκλίνουν προς x and y, αντίστοιχα, και είναι σημαντικό στον λογισμό. Αυτό δίνει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου μεx υψηλό και y ευρύ. Βλέπε Γινόμενα αλληλουχιών,ανωτέρω.

[[Μιγαδικοί Αριθμοί]

Λαμβάνοντας υπόψη ως μιγαδικούς αριθμούς τους $z_{1}$ και $z_{2}$ σαν διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών $(a_{1},b_{1})$ και $(a_{2},b_{2})$, το γινόμενο $z_{1}\times z_{2}$ είναι $(a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})$. Όμοια και για τους πραγματικούς αριθμούς $a_{1}\times a_{2}$, όταν τα "φανταστικά" μέρη $b_{1}$ και $b_{2}$ είναι μηδενικά.

Περαιτέρω γενικεύσεις

Βλέπε Πολλαπλασιασμός στην Θεωρία Ομάδων, παραπάνω, και Πολλαπλασιαστικές Ομάδες,όπου για παράδειγμα, περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Μια πολύ γενική και αφηρημένη, έννοια του πολλαπλασιασμού παρουσιάζεται σαν την δυαδική λειτουργία "πολλαπλασιαστικά συμβολισμένη" σε ένα δακτύλιο. Ένα παράδειγμα ενός δακτυλίου που δεν είναι σε οποιαδήποτε από τα ανωτέρω συστήματα αριθμών είναι ένας δακτύλιος πολυώνυμο(μπορείτε να προσθέσετε και να πολλαπλασιάσετε πολυώνυμα,αλλά τα πολυώνυμα δεν είναι οι αριθμοί με την συνηθισμένη έννοια.)

Διαίρεση

Συχνά η διαίρεση ${\frac {x}{y}}$, είναι το ίδιο με τον πολλαπλασιασμό επί έναν αντίστροφο $x\left({\frac {1}{y}}\right)$. Ο πολλαπλασιασμός για ορισμένους τύπους "αριθμών" μπορεί να έχει αντίστοιχη διαίρεση, χωρίς αντίστροφα. Ένας με ακέραιο τμήμα x μπορεί να μην έχει αντίστροφο "${\frac {1}{x}}$" αλλά ο ${\frac {x}{y}}$ μπορεί να ορίζεται. Σε ένα δακτύλιο με διαίρεση, υπάρχουν αντίστροφοι αλλά δεν είναι αντιμεταθετικός (δεδομένου ότι (since $\left({\frac {1}{x}}\right)\left({\frac {1}{y}}\right)$ δεν είναι το ίδιο με το $\left({\frac {1}{y}}\right)\left({\frac {1}{x}}\right)$, ${\frac {x}{y}}$ μπορεί να είναι διφορούμενο).

Ύψωση [ edit ]

Ύψωση σε δύναμη

Όταν ο πολλαπλασιασμός επαναλαμβάνεται, το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως ύψωση σε δύναμη . Για παράδειγμα, το γινόμενο των τριών παραγόντων του δύο (2 χ 2 χ 2) είναι "δύο υψωμένο στη τρίτη δύναμη», και συμβολίζεται με 2³, δύο με εκθέτη τρία. . Σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός δύο είναι η βάση , καιτο τρεια είναι ο εκθέτης . Σε γενικές γραμμές, ο εκθέτης δείχνει πόσες φορές να πολλαπλασιαστεί η βάσης από μόνη της, έτσι ώστε η έκφραση

$a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$

υποδεικνύει ότι η βάση α πολλαπλασιάζεται από μόνη της n φορές.

Βλέπε επίσης

• Dimensional analysis
• Multiplication algorithm
  • Karatsuba algorithm, για μεγάλους αριθμούς
  • Toom–Cook multiplication, για πολύ μεγάλους αριθμούς
  • Schönhage–Strassen algorithm, για τεράστιους αριθμούς

• Multiplication table
• Multiplication ALU, πως πολλαπλασιάζονται οι υπολογιστές
  • Booth's multiplication algorithm
  • Floating point
  • Fused multiply–add
  • Multiply–accumulate
  • Wallace tree

• Multiplicative inverse, αμοιβαίες
• Factorial
• Genaille–Lucas rulers
• Napier's bones
• Peasant multiplication
• Product (mathematics), γενικεύσεις
• Slide rule

Αναφορές

• Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7. 

Εξωτερικές συνδέσεις

• Multiplication and Arithmetic Operations In Various Number Systems at cut-the-knot
• Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus

Category:Στοιχειώδης αριθμητική Category:Binary operations Category:Mathematical notation Κατηγορία:Λήμματα που περιέχουν αποδείξεις *