Χρήστης:Dparasid/πρόχειρο/

Μια σπείρα, ένα από τα πιο συχνά μελετηθεί αντικείμενα στην αλγεβρική τοπολογία

Αλγεβρική τοπολογία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που χρησιμοποιεί εργαλεία από την αφηρημένη άλγεβρα για τη μελέτη τοπολογικών χώρων. Ο βασικός στόχος είναι να βρεθούν αλγεβρικά αναλλοίωτα που κατατάσσουν τοπολογικούς χώρους σε ομομορφισμούς, αν και συνήθως οι περισσότεροι κατατάσσουν σε ομοτoπίες ισοδυναμίας.

Αν και Αλγεβρική Τοπολογία χρησιμοποιεί κυρίως άλγεβρα για τη μελέτη τοπογραφικών προβλημάτων, χρησιμοποιώντας την τοπολογία για την επίλυση αλγεβρικών προβλημάτων μπορεί να μην καταλήξουμε σε κανένα δυνατό αποτέλασμα ή στην επίλυση του προβλήματος. Αλγεβρική τοπολογία, για παράδειγμα, επιτρέπει μια βολική απόδειξη ότι οποιαδήποτε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας είναι πάλι μια ελεύθερη ομάδα.

Κύριους κλάδους της αλγεβρική τοπολογία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παρακάτω είναι μερικοί από τις κύριους τομείς που μελετήθηκαν στην αλγεβρική τοπολογία:

Ομότoπες ομάδες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στα μαθηματικά, ομότυπες ομάδες χρησιμοποιούνται στην αλγεβρική τοπολογία για την ταξινόμηση των τοπολογικών χώρων. Η πρώτη και απλούστερη ομότυπη ομάδα είναι η θεμελιώδης ομάδα, η οποία καταγράφει τις πληροφορίες σχετικά με βρόχους σε ένα χώρο. Διαισθητικά, ομότoπες ομάδες καταγράφουν πληροφορίες σχετικά με το βασικό σχήμα, ή τις τρύπες, ενός τοπολογικού χώρου.

Ομολογία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην αλγεβρική τοπολογία και την αφηρημένη άλγεβρα, ομολογίας (εν μέρει από την ελληνική ὁμός= "όμοια") είναι κάποια γενική διαδικασία για να συνδέσει μια ακολουθία των Αβελιανών ομάδων ή Προτύπων με συγκεκριμένο μαθηματικό αντικείμενο, όπως ένα τοπολογικό χώρο ή μια ομάδα.

Συνομολογία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην θεωρία της ομολογίας και στην αλγεβρική τοπολογία, συνομολογία είναι ένας γενικός όρος για μια σειρά από Αβελιανή ομάδα που ορίζεται από μία σύνθετη συν-αλυσίδας. Δηλαδή, συνομολογία ορίζεται ως η αφηρημένη μελέτη των συν-αλυσίδων,των ομόκυκλων και των ορίων. Συνομολογία μπορεί να θεωρηθεί και μια μέθοδος για την ταξινόμηση των αλγεβρικών αναλλοίωτων σε ένα τοπολογικό χώρο που έχει μια πιο εκλεπτυσμένη αλγεβρική δομή από ομολογία. Σε λιγότερο αφηρημένη γλώσσα, οι συν-αλυσίδες στη θεμελιώδη έννοια θα πρέπει να εκχωρήσουν( δηλ.μπορούν να θεωρηθούν ως «ποσότητες») στις αλυσίδες της ομόλογης θεωρίας.

Πολλαπλές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια πολλαπλή είναι έναςτοπολογικός χώρος που κοντά σε κάθε σημείο μοιάζει με Ευκλείδειος χώρος. Παραδείγματα περιλαμβάνουν το αεροπλάνο, τη σφαίρα, και την τόρου, τα οποία μπορούν όλα να κινηθούν σε τρεις διαστάσεις, αλλά επίσης και το μπουκάλι Klein καθώς και το πραγματικό προβολικό επίπεδο που δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί σε τρεις διαστάσεις, αλλά μπορεί να πραγματοποιηθεί σε τέσσερις διαστάσεις. Συνήθως, η Αλγεβρική Τοπολογίαεοδηγεί στηνσγκόσμια, εστίασηγια παράδειγμα μη Διαφορίσιμες πτυχές στις Πολλαπλότητες Poincaré δυαδικότητα.

θεωρία Kόμπων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

θεωρία Κόμπων είναι η μελέτη των μαθηματικών κόμβων. Είναι δημιουργημένο από κόμβους που εμφανίζονται στην καθημερινή ζωή όπως σε κορδόνια και σχοινιά, κάθε μαθηματικός κόμπος διαφέρει στο ότι τα άκρα ενώνονται μεταξύ τους, έτσι ώστε να μην μπορεί να αναιρεθεί. Στην ακριβή μαθηματική γλώσσα, ένας κόμπος είναι μια ενσωμάτωση ενός κύκλου σε 3-διάστατο Ευκλείδειο χώρο, R³. Δύο μαθηματικοί κόμβοι είναι ισοδύναμοι αν το ένα μπορεί να μετατραπεί στο άλλο μέσω μιας παραμόρφωσης Ε³ κατά την ίδια, γνωστή και ως ισότοπη) * αυτοί οι μετασχηματισμοί αντιστοιχούν σε χειρισμούς ενός κόμπου σειράς που δεν περιλαμβάνουν την κοπή της σειράς ή περνώντας το κορδόνι μέσα από την ίδια.

Σύμπλοκο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα βασικό σχήμα ή σύμπλοκο είναι ένας τοπολογικός χώρος από ένα συγκεκριμένο είδος, που κατασκευάστηκε από "κόλλημα μαζί" σημείων, ευθύγραμμων τμημάτων, τρίγωναων, και n-διαστάσεων ομολόγων του . Βασικά σχήματα ή σύμπλοκα δεν πρέπει να συγχέονται με την πιο αφηρημένη έννοια του απλου σύνολου που εμφανίζονται στο σύγχρονο απλό της ομότοπης θεωρίας. Η καθαρά συνδυαστική ομόλογη του συμπλόκου είναι ένα αφηρημένο σύμπλοκο.

Ένα CW συγκρότημα είναι ένας είδος τοπολογικού χώρου που εισήγαγε ο J. H. C. Whitehead για να καλύψει τις ανάγκες της ομότοπης θεωρίας. Αυτή η κατηγορία των χώρων είναι ευρύτερη και έχει κάποιες καλύτερες κατηγορηματικές ιδιότητες από ένα βασικό σύμπλοκο, αλλά εξακολουθεί να διατηρεί μια συνδυαστική φύση, η οποία επιτρέπει τον υπολογισμό (συχνά με ένα πολύ μικρότερο συγκρότημα).

Μέθοδος των αλγεβρικών αναλλοίωτων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Μια παλαιότερη ονομασία για το θέμα ήταν συνδυαστική τοπολογία, δίνοντας έμφαση για το πώς κατασκευάστηκε ένας χώρος X από απλούστερους (το σύγχρονο πρότυπο εργαλείο για την εν λόγω κατασκευή είναι το CW-σχήμα). Στη δεκαετία του 1920 και του 1930, υπήρχε αυξανόμενη έμφαση στη διερεύνηση των τοπολογικών χώρων με την εύρεση αντιστοιχιών από τις αλγεβρικές ομάδες, που οδήγησε στην αλλαγή της ονομασίας σε αλγεβρική τοπολογία. Η συνδυαστική τοπολογία όνομα που εξακολουθεί να χρησιμοποιείται μερικές φορές για να τονίσει μια αλγοριθμική προσέγγιση που βασίζεται στην αποσύνθεση των χώρων.

Στην αλγεβρική προσέγγιση, βρίσκει κανείς μια αλληλογραφία μεταξύ των χώρων και των ομάδων που σέβεται τη σχέση του ομοιομορφισμού (ή πιο γενικά ομοτοπία) των χώρων. Αυτό επιτρέπει σε κάποιον να αναδιατύπωση δηλώσεις σχετικά με τους τοπολογικούς χώρους σε δηλώσεις σχετικά με τις ομάδες, οι οποίες έχουν μεγάλη εύχρηστη δομή, συχνά κάνοντας αυτές τις δήλωσεις είναι πιο εύκολο να αποδειχθούν.Δύο μεγάλους τρόπους με τους οποίους αυτό μπορεί να γίνει μέσω θεμελιωδών ομάδων, ή, γενικότερα, Ομοτοπης θεωρίας, και μέσω ομολογίας και συνομολογίας ομάδων. Οι θεμελιώδεις ομάδες μπορούν να μας δώσουν τις βασικές πληροφορίες σχετικά με τη δομή των τοπολογικών χώρων, αλλά είναι συχνά μη αβελιανή και μπορεί να είναι δύσκολο να εργαστεί κάποιος . Η θεμελιώδης ομάδα του (πεπερασμένου) βασικού συμπλόκου έχει μια πεπερασμένη παρουσίαση.

Ομολογία και συνομολογία ομάδων, από την άλλη πλευρά, είναι αβελιανή και σε πολλές σημαντικές περιπτώσεις πεπερασμένα παραγόμενη. Πεπερασμένα παραγόμενες αβελιανές ομάδες είναι εντελώς απόρρητες, και είναι ιδιαίτερα εύκολο να εργαστεί κανείς με αυτές.

Ρύθμιση στην κατηγορία θεωρίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε γενικές γραμμές, όλες οι κατασκευές της αλγεβρικής τοπολογίας είναι κατηγορίες οι έννοιες της κατηγορίας, συνάρτησης και φυσικό μετασχηματισμό προέρχονται από εδώ. Θεμελιώδεις ομάδες και ομολογίες και συνομολογίες ομάδων, δεν είναι μόνο οι μεταβλητές των υποκειμένων των τοπολογικών χώρων, με την έννοια ότι δύο ομοιομορφικοί τοπολογικοί χώροι είναι το ίδιο και σχετίζονται με τις ομάδες, αλλά αντιστοιχούν επίσης και στους συναφείς ομομορφισμούς — μιας συνεχής χαρτογράφησης των χώρων προκαλεί μια ομάδα ομοιομορφικη σχετικά με τις συναφείς ομάδες, και αυτές οι ομοιομορφίες μπορούν να χρησιμοποιηθουν για να δείξαμε τη μη-ύπαρξη ή πολύ πιο βαθιά, την ύπαρξη στις αντιστοιχίσεις.

Ένας από τους πρώτους μαθηματικους θεώρησε ότι η συνομολογία μπορεί να λειτουργεί με διαφορετικούς τύπους,αυτός ήταν ο Georges de Rham. Μπορεί κάποιος να χρησιμοποιήσει τη διαφορική δομή ομαλής πολλαπλής μέσω τουηςe Rham συνομολογίας, ή Čech ή το "σύνολο" συνομολογίας ώστε να διερευνήσει τη φερεγγυότητα των διαφορικών εξισώσεων που ορίζεται στην πολλαπλή. Ο De Rham έδειξε ότι όλες αυτές οι προσεγγίσεις ήταν αλληλένδετες και ότι, για ένα κλειστό, προσανατολισμένη πολλαπλή, οι Μπέτι αριθμοί που προέρχονται μέσα από σύμπλοκα ομολογίας ήταν οι ίδιοι οι Μπέτι αριθμοί, όπως αυτές που προέρχονται μέσω του de Rham συνομολογίας. Αυτή επεκτάθηκε στη δεκαετία του 1950, όταν Eilenberg και Steenrod διατύπωσαν μια γενικευμένη προσέγγιση για το προηγούμενο θέμα. Θα ορίζεται ως ομολογία και ως συνομολογία μίας συναρτήσης εξοπλισμένη με φυσικούς μετασχηματισμούς ,και με επιφύλαξη ορισμένων αξιωμάτων (π. χ.,από μια αδύναμη ισοδυναμία των χώρων περνάει ένας ισομορφισμός στις ομόλογες ομάδες),ως η επαλήθευση ότι όλες οι διατυπώσεις των συν-ομολογικών θεωριών ικανοποιούν αυτά τα αξιώματα, και στη συνέχεια αποδείξη ότι μια τέτοια αξιωματική θεωρία είναι μοναδική και χαρακτηρίζεται η θεωρία.

Εφαρμογές της αλγεβρικής τοπολογίας[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο Brouwer fixed point θεώρημα: κάθε συνεχής χάρτη από τη μονάδα n-δίσκο στον εαυτό του έχει ένα σταθερό σημείο.
Η ελεύθερη κατάταξη της n-οστης ομολογίας ενός συμπλόκου είναι η n-οστή Betti αριθμός, που επιτρέπει σε κάποιον να υπολογίσεσει το Euler-Poincaré χαρακτηριστικό.
Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τη διαφορική δομή ομαλή συλλέκτες μέσω του de Rham συνομολογία, ή Čech ή "σύνολο" συνομολογία να διερευνήσει τη φερεγγυότητα των διαφορικών εξισώσεων που ορίζεται στην πολλαπλή.
Μια πολλαπλή είναι προσανατολισμένο όταν η κορυφή διαστάσεων αναπόσπαστο ομολογίας ομάδα είναι οι ακέραιοι αριθμοί, και είναι μη-προσανατολισμένο όταν είναι 0.
Το n-σφαίρα μας δείχνει μια συνεχή τάση φυγής της μονάδας του διανυσματικού πεδίου,αν και μόνο αν το n είναι περιττός. (Για n = 2, μερικές φορές, αυτό ονομάζεται" θεώρημα τριχωτής μπάλας"
Το Borsuk–Ulam θεώρημα: κάθε συνεχής χάρτης από το n-σφαίρα ενός Ευκλείδειο n-χώρο, προσδιορίζει τουλάχιστον ένα ζεύγος από αντίθετα σημεία.
Κάθε υποομάδα μιας ελεύθερης ομάδας είναι "ανοιχτή". Αυτό το αποτέλεσμα είναι αρκετά ενδιαφέρον, γιατί η δήλωση είναι καθαρά αλγεβρικό ακόμα και η απλούστερη γνωστή απόδειξη είναι τοπολογική. Δηλαδή, οποιαδήποτε ελεύθερη ομάδα G μπορεί να πραγματοποιηθεί ως η θεμελιώδης ομάδα ενός γραφήματος X. Το κεντρικό θεώρημα για να καλύπτει χώρους μας λέει ότι κάθε υποομάδα H της G είναι η θεμελιώδης ομάδα που καλύπτουν το διάστημα Y του X, αλλά κάθε Y είναι και πάλι ένα γράφημα. Ως εκ τούτου, η θεμελιώδης ομάδα H είναι "ανοιχτή". Από την άλλη πλευρά, αυτό το είδος της εφαρμογής έχει επίσης να αντιμετωπιστεί την πιο απλή χρήση του να καλύπτει ομομορφισμούς της groupoids, και η τεχνική αυτή έχει αποδώσει υποομάδικά θεωρήματα που δεν έχει ακόμη αποδειχθεί με μεθόδους της αλγεβρικής τοπολογίας. (Βλέπε το βιβλίο του Χίγκινς που απαριθμούνται στο groupoids.)
Τοπολογική συνδυαστική

Αναφορές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Dylan G. L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem (Συζητά γενικευμένες εκδόσεις του θεώρημα van Kampen του εφαρμόζονται σε τοπολογικές χώρους και simplicial σετ).
Bredon, Glen E. (1993), Topology and Geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer, ISBN 0-387-97926-3, http://books.google.com/?id=G74V6UzL_PUC&printsec=frontcover&dq=bredon+topology+and+geometry, ανακτήθηκε στις 2008-04-01 .
Ronald Brown, Higher dimensional group theory (2007) (Δίνει μια ευρεία άποψη των υψηλότερων διαστάσεων των θεωρήματων van Kampen περιλαμβάνει πολλαπλές groupoids).
R. Brown and A. Razak, A van Kampen theorem for unions of non-connected spaces, Archiv. Math. 42 (1984) 85–88. ''Δίνει μια γενική θεωρία στη θεμελιώδη groupoid με ένα σύνολο σημείων βάσης ενός χώρου που είναι η ένωση των ανοικτών συνόλων."
R. Brown, K. Hardie, H. Kamps, T. Porter: The homotopy double groupoid of a Hausdorff space., Theory Appl. Categories, 10:71–-93 (2002).
R. Brown and P.J. Higgins, Για τη σύνδεση μεταξύ των δεύτερων σχετικών ομάδων ομοτοπίας κάποιων που σχετίζονται με τους χώρους, Proc. London Math. Soc. (3) 36 (1978) 193–212. "Το πρώτο 2-διαστάσεων εκδοχή του θεωρήματος van Kampen του.""
R. Brown, P.J. Higgins, and R. Sivera. Non-Abelian Algebraic Topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical higher homotopy groupoids; European Mathematical Society Tracts in Mathematics Vol. 15, 2011, [1] Αυτό παρέχει μια ομότοπη θεωρητική προσέγγιση σε βασικές Αλγεβρική Τοπολογία, χωρίς να χρειάζεται μια βάση σε ενικό αριθμό ομολογίας, ή τη μέθοδο του βασικού συμπλόκου προσέγγισης. Περιέχει πολύ υλικό για διέσχισει μονάδας.
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd έκδοση), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Greenberg, Marvin J. and John R. Harper. (1981), Algebraic Topology: A First Course, Revised edition, Mathematics Lecture Note Series, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576 . Μια συνάρτηση, αλγεβρική προσέγγιση αρχικά από Greenberg με γεωμετρικά αρωματικές να προστεθεί από Harper. Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html .Μια σύγχρονη, γεωμετρικά αρωματισμένα εισαγωγή στην Αλγεβρική Τοπολογία.
P. J. Higgins, Categories and groupoids (1971) Van Nostrand-Reinhold.
Maunder, C. R. F. (1970), Algebraic Topology, London: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4 .
tom Dieck, T., Αλγεβρική Τοπολογία. EMS σχολικά βιβλία Μαθηματικών. Ευρωπαϊκή Μαθηματική Εταιρεία (EMS), Ζυρίχη (2008).
E. R. van Kampen.Για τη σύνδεση μεταξύ των θεμελιωδών ομάδων ορισμένες σχετικές θέσεις. American Journal των Μαθηματικών, τομ. 55 (1933), σελ. 261-267 .
Van Kampen's theorem at PlanetMath.org.
Van Kampen's theorem result at PlanetMath.org.

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Allen Χάτσερ, Αλγεβρική τοπολογία. (2002), Cambridge University Press, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X και ISBN 0-521-79540-0.
Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Algebraic topology», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/a011700
May JP (1999). A Concise Course in Algebraic Topology (PDF). U. Chicago Press. Ανακτήθηκε στις 27 Σεπτεμβρίου 2008. Ενότητα 2.7 παρέχει μια κατηγορία θεωρητικής παρουσίασης του θεωρήματος ως colimit στην κατηγορία των groupoids.
Ronald Brown, Τοπολογία και groupoids (2006) Booksurge LLC ISBN 1-4196-2722-8.

[[Κατηγορία:Αλγεβρική τοπολογία]]