Συνάρτηση γάμμα

Η συνάρτηση γάμμα στους πραγματικούς αριθμούς.

Η απόλυτη τιμή της συνάρτησης γάμμα.

Στα μαθηματικά, η συνάρτηση γάμμα (ή απλώς συνάρτηση Γ) είναι η συνάρτηση με πεδίο ορισμού τους μιγαδικούς αριθμούς με θετικό πραγματικό μέρος, δηλαδή $H(0)=\{z:z\in \mathbb {C} ,Re(z)>0\}$ και ορίζεται ως εξής

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt$.

Η συνάρτηση γάμμα ικανοποιεί την συναρτηρησιακή σχέση:

$\,z\Gamma (z)=\Gamma (z+1).$

Από τη σχέση αυτή και από $\Gamma (1)=1$ προκύπτει $\Gamma (n+1)=n!$, για κάθε φυσικό αριθμό $n$. Για το λόγο αυτό η συνάρτηση γάμμα θεωρείται επέκταση του παραγοντικού.

Εφαρμόζοντας την συναρτηρησιακή σχέση $n+1$ φορές προκύπτει ότι

$\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z\cdot (z+1)\cdot \ldots \cdot (z+n)}}$.

Το δεξί μέρος της εξίσωσης ορίζει μία μερομορφική συνάρτηση στο $\{z:Re(z)>-n-1\}$ με πόλους πρώτου βαθμού στα $z=-k,k=0,1,\dots ,n$. Σύμφωνα με αυτή τη σχέση η συνάρτηση γάμμα συνεχίζεται αναλυτικά σε μία μερομορφική συνάρτηση σε όλο το $\mathbb {C}$ με πόλους πρώτου βαθμού στα $z=-n,n\in \mathbb {N} _{0}$.

Εφαρμογές

Στις συναρτήσεις Μπέσελ ημιακέραιας τάξης

Η διαφορική εξίσωση του Μπέσελ ακέραιας τάξης $\nu$ γράφεται ως

$x^{2}y^{\prime \prime }+xy^{\prime }+(x^{2}-\nu ^{2})y=0$.

(1)

Η εξίσωση αυτή έχει δύο ανεξάρτητες λύσεις, τις συναρτήσεις Μπέσελ πρώτου και δεύτερου είδους και τάξης $\nu$. Η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου είδους γράφεται σε μορφή δυναμοσειράς ως εξής:

$J_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k} \over k!(\nu +k)!}\left({x \over 2}\right)^{\nu +2k}$.

(2)

Δύο βασικές αλγεβρικές ιδιότητες των συναρτήσεων Μπέσελ πρώτου είδους είναι οι εξής

$J_{\nu }={x \over 2n}(J_{\nu -1}+J_{\nu +1})$,

(3)

$J_{\nu }^{\prime }={1 \over 2}(J_{\nu -1}-J_{\nu +1})$.

(4)

Για $\nu ={1 \over 2}$ ή $\nu =-{1 \over 2}$ έχουμε τις πρώτες ημιακέραιες τάξεις των συναρτήσεων Μπέσελ που εμφανίζονται σε πολλά προβλήματα Φυσικής και μπορούν να εκφραστούν με στοιχειώδεις συναρτήσεις. Με αναγωγή της εξίσωσης Μπέσελ στην κανονική της μορφή βρίσκουμε πως για αυτές τις ημιακέραιες τιμές του $\nu$ οι (κανονικοποιημένες) συναρτήσεις Μπέσελ πρώτου είδους που ικανοποιούν την εξίσωση είναι:

$J_{1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\sin x$,

(6)

$J_{-1/2}(x)={\sqrt {2 \over \pi x}}\cos x$.

(7)

Όλες οι συναρτήσεις Μπέσελ ημιακέραιας τάξης μπορούν να κατασκευαστούν συναρτήσει αυτών των (6) και (7) με βάση την (3). Θα πρέπει όμως η (3) να ισχύει και για μη ακέραια $\nu$. Αυτή η συνθήκη εξασφαλίζεται αν οι συναρτήσεις Μπέσελ ημιακέραιας τάξης μπορούν να οριστούν από την δυναμοσειρά (2). Για να γίνει αυτό όμως πρέπει πρώτα να αποκτήσει νόημα το παραγοντικό σύμβολο για μη ακέραιους αριθμούς και ακριβώς αυτό επιτυγχάνεται με τη συνάρτηση γάμμα.

Ισοδύναμοι ορισμοί

Ισοδύναμα, η συνάρτηση μπορεί να οριστεί από το εξής ολοκλήρωμα

$\Gamma (x)=\int _{0}^{1}(-\ln t)^{x-1}\,dt$,

και ως το εξής όριο

$\Gamma (x+1)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \cdot k}{(x+1)(x+2)(x+3)\cdot \cdot (x+k)}}\cdot k^{x}$.

Ιδιότητες

Η συνάρτηση γάμμα ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες:

• $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$.
• $\Gamma (1)=\Gamma (2)=1$.
• Για κάθε $x=1,2,3,\ldots$ ισχύει ότι

$\Gamma \left(x+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2x-1)}{2^{x}}}\cdot {\sqrt {\pi }}$.

• Μια ιδιότητα της συνάρτησης γάμμα, χρήσιμη σε διάφορες εφαρμογές των μαθηματικών, της φυσικής και άλλων επιστημών είναι η εξής:

$\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}$.

• Για οποιοδήποτε πραγματικό $p>0$, ο μετασχηματισμός Λαπλάς ${\mathcal {L}}$ της συνάρτησης $x^{p-1}$ υπολογίζεται ως εξής

${\mathcal {L}}[x^{p-1}](t)=\int _{0}^{\infty }e^{-tx}x^{p-1}\,dx={\frac {\Gamma (p)}{t^{p}}}$.

Εφαρμογές

• Στατιστική: Η συνάρτηση γάμμα εμφανίζεται σε πολλές κατανομές, όπως η γάμμα και η βήτα.
• Θεωρία αριθμών: Η συνάρτηση γάμμα εμφανίζεται στη συναρτηρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα.
• Μαθηματικά: Η συνάρτηση γάμμα χρησιμοποιείται για να οριστεί η συνάρτηση ψ(x).

Δείτε επίσης

• Συνάρτηση Βήτα
• Κατανομή Γάμμα