Ομοιόμορφη συνέχεια

Το γράφημα της $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ ξεφεύγει από το πάνω και/ή το κάτω μέρος του ${\text{height}}\times {\text{width}}=2\varepsilon \times 2\delta$ παραθύρου, όσο μικρό κι αν είναι το $\delta$. Έτσι η $f(x)$ δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής. Η συνάρτηση $g(x)={\sqrt {x}}$, από την άλλη πλευρά, είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Στα μαθηματικά, μια συνάρτηση f είναι ομοιόμορφα συνεχής εάν, χονδρικά μιλώντας, μπορούμε να εγγυηθούμε ότι τα f ( x ) και f ( y ) είναι τόσο κοντά το ένα στο άλλο όσο θέλουμε, απαιτώντας μόνο το x και το y να είναι αρκετά κοντά στο καθένα άλλα, σε αντίθεση με τη συνηθισμένη συνέχεια, όπου η μέγιστη απόσταση μεταξύ f ( x ) και f ( y ) μπορεί να εξαρτάται από τα ίδια τα x και y .

Οι συνεχείς συναρτήσεις μπορεί να αποτύχουν να είναι ομοιόμορφα συνεχείς εάν είναι μη φραγμένες σε έναν περιορισμένο τομέα, όπως π.χ. $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ στο (0,1), ή εάν οι κλίσεις τους γίνονται απεριόριστες σε ένα άπειρο πεδίο, όπως π.χ $f(x)=x^{2}$ στην πραγματική γραμμή. Ωστόσο, οποιαδήποτε απεικόνιση Lipschitz μεταξύ μετρικών χώρων είναι ομοιόμορφα συνεχής, ιδιαίτερα οποιαδήποτε ισομετρία (απεικόνιση που διατηρεί την απόσταση).

Αν και η συνηθισμένη συνέχεια μπορεί να οριστεί για συναρτήσεις μεταξύ γενικών τοπολογικών χώρων, ο ορισμός της ομοιόμορφης συνέχειας απαιτεί περισσότερη δομή. Η ιδέα βασίζεται στη σύγκριση των μεγεθών των γειτονιών διαφορετικών σημείων, επομένως απαιτεί έναν μετρικό χώρο ή γενικότερα έναν ενιαίο χώρο .

Ορισμός για συναρτήσεις σε μετρικούς χώρους

Δεδομένα μετρικά μη κενά $(X,d_{1})$ και $(Y,d_{2})$, μια συνάρτηση $f:X\to Y$ ονομάζεται ομοιόμορφα συνεχής εάν για κάθε πραγματικό αριθμό $\varepsilon >0$ υπάρχει πραγματικός αριθμός $\delta >0$ τέτοιος ώστε για κάθε $x,y\in X$ με $d_{1}(x,y)<\delta$, έχουμε ότι$d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon$ .

Εάν τα X και Y είναι υποσύνολα της πραγματικής ευθείας, τα d ₁ και d ₂ μπορούν να είναι η τυπική μονοδιάστατη Ευκλείδεια απόσταση, δίνοντας τον ορισμό: για όλους τους πραγματικούς αριθμούς $\varepsilon >0$ υπάρχει πραγματικός αριθμός $\delta >0$ τέτοιο που για κάθε $x,y\in X,|x-y|<\delta \implies |f(x)-f(y)|<\varepsilon$ (όπου $A\implies B$ είναι το υλικό υπό όρους "αν Α, τότε Β ").

Η διαφορά μεταξύ της ομοιόμορφης συνέχειας, έναντι της συνηθισμένης συνέχειας σε κάθε σημείο, είναι ότι στην ομοιόμορφη συνέχεια η τιμή του $\delta$ εξαρτάται μόνο από $\varepsilon$ και όχι στο σημείο στον τομέα.

Τοπική συνέχεια έναντι παγκόσμιας ομοιόμορφης συνέχειας

Η ίδια η συνέχεια είναι μια τοπική ιδιότητα μιας συνάρτησης—δηλαδή, μια συνάρτηση f είναι συνεχής, ή όχι, σε ένα συγκεκριμένο σημείο, και αυτό μπορεί να προσδιοριστεί εξετάζοντας μόνο τις τιμές της συνάρτησης σε μια (αυθαίρετα μικρή) γειτονιά αυτής της συνάρτησης. σημείο. Όταν μιλάμε για μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα διάστημα, εννοούμε μόνο ότι είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος. Αντίθετα, η ομοιόμορφη συνέχεια είναι μια συνολική ιδιότητα της f, με την έννοια ότι ο τυπικός ορισμός αναφέρεται σε ζεύγη σημείων και όχι σε μεμονωμένα σημεία. Από την άλλη πλευρά, είναι δυνατό να δοθεί ένας ορισμός που να είναι τοπικός ως προς τη φυσική επέκταση f * (τα χαρακτηριστικά της οποίου σε μη τυπικά σημεία καθορίζονται από τις καθολικές ιδιότητες της f ), αν και δεν είναι δυνατό να δοθεί ένας τοπική ορισμός ομοιόμορφης συνέχειας για μια αυθαίρετη συνάρτηση υπερπραγματικής τιμής, βλέπε παρακάτω .

Οι μαθηματικές δηλώσεις ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα I και ο ορισμός ότι μια συνάρτηση είναι ομοιόμορφα συνεχής στο ίδιο διάστημα είναι δομικά πολύ παρόμοιες. Η συνέχεια μιας συνάρτησης για κάθε σημείο x ενός διαστήματος μπορεί επομένως να εκφραστεί με έναν τύπο που ξεκινά με τον ποσοτικό προσδιορισμό

$\forall x\in I\;\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall y\in I:\,|x-y|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon \,,$

ενώ για ομοιόμορφη συνέχεια, η σειρά του πρώτου, του δεύτερου και του τρίτου ποσοτικού προσδιοριστή εναλλάσσεται:

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in I\;\forall y\in I:\,|x-y|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(y)|<\varepsilon$

Έτσι, για συνέχεια σε κάθε σημείο, παίρνει κανείς ένα αυθαίρετο σημείο x και τότε πρέπει να υπάρχει μια απόσταση δ ,

$\cdots \forall x\,\exists \delta \cdots ,$

ενώ για ομοιόμορφη συνέχεια ένα μόνο δ πρέπει να λειτουργεί ομοιόμορφα για όλα τα σημεία x (και y ):

$\cdots \exists \delta \,\forall x\,\forall y\cdots .$

• Κάθε συνεχής απεικόνιση Lipschitz μεταξύ δύο μετρικών χώρων είναι ομοιόμορφα συνεχής. Συγκεκριμένα, κάθε συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη και έχει φραγμένη παράγωγο είναι ομοιόμορφα συνεχής. Γενικότερα, κάθε συνεχής συνάρτηση Hölder είναι ομοιόμορφα συνεχής.
• Παρόλο που δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη, η συνάρτηση Weierstrass είναι ομοιόμορφα συνεχής
• Κάθε μέλος ενός ομοιόμορφα ισοσυνεχούς συνόλου συναρτήσεων είναι ομοιόμορφα συνεχές.
• Η συνάρτηση εφαπτομένης είναι συνεχής στο διάστημα (− π /2, π /2) αλλά δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό το διάστημα.
• Η εκθετική συνάρτηση x $\scriptstyle \mapsto$ Το e ^x είναι συνεχής παντού στην πραγματική γραμμή αλλά δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής στην ευθεία.

Ιδιότητες

Κάθε ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση είναι συνεχής, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Εξετάστε για παράδειγμα τη συνάρτηση $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$ . Δίνεται ένας αυθαίρετα μικρός θετικός πραγματικός αριθμός $\varepsilon$, η ομοιόμορφη συνέχεια απαιτεί την ύπαρξη θετικού αριθμού $\delta$ τέτοια που για όλους $x_{1},x_{2}$ με $|x_{1}-x_{2}|<\delta$, έχουμε $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon$ . Αλλά

$f\left(x+{\frac {\delta }{2}}\right)-f(x)=2x\cdot {\frac {\delta }{2}}+{\frac {\delta ^{2}}{4}},$

και για όλα τα αρκετά μεγάλα x αυτή η ποσότητα είναι μεγαλύτερη από $\varepsilon$ .

Οποιαδήποτε απολύτως συνεχής συνάρτηση (σε ένα συμπαγές διάστημα) είναι ομοιόμορφα συνεχής. Από την άλλη πλευρά, η συνάρτηση Cantor είναι ομοιόμορφα συνεχής αλλά όχι απολύτως συνεχής.

Η εικόνα ενός πλήρως οριοθετημένου υποσυνόλου κάτω από μια ομοιόμορφα συνεχή συνάρτηση είναι πλήρως οριοθετημένη. Ωστόσο, η εικόνα ενός οριοθετημένου υποσυνόλου ενός αυθαίρετου μετρικού χώρου κάτω από μια ομοιόμορφα συνεχή συνάρτηση δεν χρειάζεται να οριοθετηθεί: ως αντιπαράδειγμα, εξετάστε τη συνάρτηση ταυτότητας από τους ακέραιους που διαθέτουν τη διακριτή μετρική έως τους ακέραιους που διαθέτουν τη συνήθη Ευκλείδεια μετρική .

Το θεώρημα Heine–Cantor βεβαιώνει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα συμπαγές σύνολο είναι ομοιόμορφα συνεχής. Συγκεκριμένα, εάν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό οριοθετημένο διάστημα της πραγματικής ευθείας, είναι ομοιόμορφα συνεχής σε αυτό το διάστημα. Η ενσωμάτωση Darboux συνεχών συναρτήσεων προκύπτει σχεδόν αμέσως από αυτό το θεώρημα.

Εάν μια συνάρτηση με πραγματικές τιμές $f$ είναι συνεχής $[0,\infty )$ και το $\lim _{x\to \infty }f(x)$ υπάρχει (και δεν είναι άπειρο), τότε η $f$ είναι ομοιόμορφα συνεχής. Ειδικότερα, κάθε στοιχείο του $C_{0}(\mathbb {R} )$, ο χώρος των συνεχών συναρτήσεων σε $\mathbb {R}$ που εξαφανίζονται στο άπειρο, είναι ομοιόμορφα συνεχής. Αυτή είναι μια γενίκευση του θεωρήματος Heine-Cantor που αναφέρθηκε παραπάνω, αφού $C_{c}(\mathbb {R} )\subset C_{0}(\mathbb {R} )$ .

Οπτικοποίηση

Για μια ομοιόμορφα συνεχή συνάρτηση, υπάρχει για κάθε δεδομένο $\varepsilon >0$ ένα $\delta >0$ έτσι ώστε δύο τιμές $f(x)$ και $f(y)$ έχουν μέγιστη απόσταση $\varepsilon$ οποτεδήποτε τα $x$ και $y$ δεν διαφέρουν για περισσότερο από $\delta$ . Έτσι μπορούμε να σχεδιάσουμε γύρω από κάθε σημείο $(x,f(x))$ της γραφικής παράστασης ένα ορθογώνιο με ύψος $2\varepsilon$ και πλάτος $2\delta$ έτσι ώστε το γράφημα να βρίσκεται εντελώς μέσα στο ορθογώνιο και όχι ακριβώς πάνω ή κάτω. Για συναρτήσεις που δεν είναι ομοιόμορφα συνεχείς, αυτό δεν είναι δυνατό. Το γράφημα μπορεί να βρίσκεται μέσα στο ορθογώνιο για ορισμένα μέσα του γραφήματος, αλλά υπάρχουν πάντα μεσαία σημεία του ορθογωνίου στο γράφημα όπου η συνάρτηση βρίσκεται πάνω ή κάτω από το ορθογώνιο.

• 
  Για ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις, υπάρχει για καθεμία $\varepsilon >0$ ένα $\delta >0$ έτσι ώστε όταν σχεδιάζουμε ένα ορθογώνιο γύρω από κάθε σημείο της γραφικής παράστασης με πλάτος $2\delta$ και ύψος $2\varepsilon$, το γράφημα βρίσκεται εντελώς μέσα στο ορθογώνιο.
• 
  Για συναρτήσεις που δεν είναι ομοιόμορφα συνεχείς, υπάρχει ένα $\varepsilon >0$ τέτοια ώστε ανεξάρτητα από το $\delta >0$ υπάρχουν πάντα σημεία στο γράφημα για τα οποία, όταν σχεδιάζουμε α $2\varepsilon \times 2\delta$ ορθογώνιο γύρω από αυτό, υπάρχουν τιμές ακριβώς πάνω ή κάτω από το ορθογώνιο. Μπορεί να υπάρχουν μεσαία σημεία όπου το γράφημα είναι εντελώς μέσα στο ορθογώνιο, αλλά αυτό δεν ισχύει για κάθε μέσο.

Ιστορικά στοιχεία

Ο πρώτος δημοσιευμένος ορισμός της ομοιόμορφης συνέχειας ήταν από τον Heine το 1870 και το 1872 δημοσίευσε μια απόδειξη ότι μια συνεχής συνάρτηση σε ανοιχτό διάστημα δεν χρειάζεται να είναι ομοιόμορφα συνεχής. Οι αποδείξεις δίνονται σχεδόν κατά λέξη από τον Dirichlet στις διαλέξεις του για οριστικά ολοκληρώματα το 1854. Ο ορισμός της ομοιόμορφης συνέχειας εμφανίζεται νωρίτερα στο έργο του Bolzano όπου απέδειξε επίσης ότι οι συνεχείς συναρτήσεις σε ένα ανοιχτό διάστημα δεν χρειάζεται να είναι ομοιόμορφα συνεχείς. Επιπλέον δηλώνει επίσης ότι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα είναι ομοιόμορφα συνεχής, αλλά δεν δίνει πλήρη απόδειξη.

Άλλοι χαρακτηρισμοί

Μη τυπική ανάλυση

Σε μη τυπική ανάλυση, μια συνάρτηση με πραγματική τιμή f μιας πραγματικής μεταβλητής είναι μικροσυνεχής σε ένα σημείο a ακριβώς αν η διαφορά f *( a + δ ) − Η f *( a ) είναι απειροελάχιστη όποτε το δ είναι απειροελάχιστο. Έτσι η f είναι συνεχής σε ένα σύνολο A στο R ακριβώς αν η f * είναι μικροσυνεχής σε κάθε πραγματικό σημείο a ∈ Α . Η ομοιόμορφη συνέχεια μπορεί να εκφραστεί ως η συνθήκη ότι (η φυσική προέκταση του) f είναι μικροσυνεχής όχι μόνο σε πραγματικά σημεία στο A, αλλά σε όλα τα σημεία του μη τυπικού αντίστοιχου του (φυσική επέκταση) ^* A σε ^* R. Σημειώστε ότι υπάρχουν υπερπραγματικές συναρτήσεις που πληρούν αυτό το κριτήριο αλλά δεν είναι ομοιόμορφα συνεχείς, καθώς και ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις υπερπραγματικής τιμής που δεν πληρούν αυτό το κριτήριο, ωστόσο, τέτοιες συναρτήσεις δεν μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή f * για οποιαδήποτε συνάρτηση με πραγματική τιμή f . (βλ. μη τυπικό λογισμό για περισσότερες λεπτομέρειες και παραδείγματα).

Συνέχεια του Cauchy

Για μια συνάρτηση μεταξύ μετρικών χώρων, η ομοιόμορφη συνέχεια συνεπάγεται τη συνέχεια του Cauchy (Fitzpatrick 2006) . Πιο συγκεκριμένα, έστω το A υποσύνολο του R ⁿ . Αν μια συνάρτηση f : ΕΝΑ → Το R ^m είναι ομοιόμορφα συνεχές τότε για κάθε ζεύγος ακολουθιών x _n και y _n έτσι ώστε

$\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0$

έχουμε

$\lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0.$

Σχέσεις με το πρόβλημα της επέκτασης

Έστω X ένας μετρικός χώρος, S ένα υποσύνολο του X, R ένας πλήρης μετρικός χώρος και $f:S\rightarrow R$ μια συνεχής λειτουργία. Πότε μπορεί η f να επεκταθεί σε μια συνεχή συνάρτηση σε όλα τα X ;

Εάν το S είναι κλειστό στο X, η απάντηση δίνεται από το θεώρημα επέκτασης Tietze : πάντα. Επομένως, είναι απαραίτητο και αρκετό να επεκταθεί η f στο κλείσιμο του S στο X : δηλαδή, μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς απώλεια γενικότητας ότι το S είναι πυκνό στο X, και αυτό έχει την περαιτέρω ευχάριστη συνέπεια ότι εάν υπάρχει η επέκταση, είναι μοναδική. . Μια επαρκής συνθήκη για να επεκταθεί η f σε μια συνεχή συνάρτηση $f:X\rightarrow R$ είναι ότι είναι Cauchy-συνεχής, δηλαδή, η εικόνα κάτω από το f μιας ακολουθίας Cauchy (βασικής) παραμένει Cauchy(βασική). Εάν το X είναι πλήρες (και επομένως η ολοκλήρωση του S ), τότε κάθε συνεχής συνάρτηση από το X σε έναν μετρικό χώρο Y είναι συνεχής Cauchy. Επομένως, όταν το X είναι πλήρες, η f εκτείνεται σε μια συνεχή συνάρτηση $f:X\rightarrow R$ αν και μόνο αν η f είναι Cauchy-συνεχής.

Είναι εύκολο να δούμε ότι κάθε ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση είναι Cauchy-συνεχής και επομένως εκτείνεται στο X. Το αντίστροφο δεν ισχύει, αφού η συνάρτηση $f:R\rightarrow R,x\mapsto x^{2}$ είναι, όπως φαίνεται παραπάνω, όχι ομοιόμορφα συνεχής, αλλά είναι συνεχής και επομένως συνεχής Cauchy. Γενικά, για συναρτήσεις που ορίζονται σε απεριόριστους χώρους όπως το R, η ομοιόμορφη συνέχεια είναι μια μάλλον ισχυρή συνθήκη. Είναι επιθυμητό να υπάρχει μια πιο αδύναμη κατάσταση από την οποία να συνάγεται η δυνατότητα επέκτασης.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι α > 1 είναι πραγματικός αριθμός. Σε επίπεδο προ-απειροστικού λογισμού, η συνάρτηση $f:x\mapsto a^{x}$ μπορεί να δοθεί ένας ακριβής ορισμός μόνο για τις ορθολογικές τιμές του x (υποθέτοντας την ύπαρξη qth ριζών θετικών πραγματικών αριθμών, μια εφαρμογή του Θεωρήματος της Ενδιάμεσης Τιμής). Κάποιος θα ήθελε να επεκτείνει τη f σε μια συνάρτηση που ορίζεται σε όλα τα R . Η ταυτότητα

$f(x+\delta )-f(x)=a^{x}\left(a^{\delta }-1\right)$

δείχνει ότι η f δεν είναι ομοιόμορφα συνεχής στο σύνολο Q όλων των ρητών αριθμών. ωστόσο για οποιοδήποτε οριοθετημένο διάστημα I ο περιορισμός της f σε $Q\cap I$ είναι ομοιόμορφα συνεχής, άρα Cauchy-συνεχής, επομένως η f εκτείνεται σε μια συνεχή συνάρτηση στο I . Αλλά επειδή αυτό ισχύει για κάθε I, υπάρχει τότε μια μοναδική επέκταση του f σε μια συνεχή συνάρτηση σε όλο το R .

Γενικότερα, μια συνεχής συνάρτηση $f:S\rightarrow R$ της οποίας ο περιορισμός σε κάθε οριοθετημένο υποσύνολο του S είναι ομοιόμορφα συνεχής μπορεί να επεκταθεί στο X και το αντίστροφο ισχύει εάν το X είναι τοπικά συμπαγές .

Μια τυπική εφαρμογή της δυνατότητας επέκτασης μιας ομοιόμορφα συνεχούς συνάρτησης είναι η απόδειξη του τύπου αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier . Αρχικά αποδεικνύουμε ότι ο τύπος ισχύει για τις δοκιμαστικές συναρτήσεις, υπάρχουν πυκνά πολλές από αυτές. Στη συνέχεια επεκτείνουμε τον αντίστροφο χάρτη σε ολόκληρο τον χώρο χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ο γραμμικός χάρτης είναι συνεχής. έτσι, ομοιόμορφα συνεχής.

Γενίκευση σε τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους

Στην ειδική περίπτωση δύο τοπολογικών διανυσματικών χώρων $V$ και $W$, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας μιας απεικόνισης $f:V\to W$ γίνεται: για οποιαδήποτε γειτονιά $B$ του μηδενός στο $W$, υπάρχει γειτονιά $A$ του μηδενός στο $V$ τέτοια που η σχέση $v_{1}-v_{2}\in A$ να υποδηλώνει ότι $f(v_{1})-f(v_{2})\in B.$

Για γραμμικούς μετασχηματισμούς $f:V\to W$, η ομοιόμορφη συνέχεια είναι ισοδύναμη με τη συνέχεια. Αυτό το γεγονός χρησιμοποιείται συχνά σιωπηρά στη συναρτηστιακή ανάλυση για την επέκταση μιας γραμμική απεικόνισης από έναν πυκνό υποχώρο ενός χώρου Banach .

Γενίκευση σε ομοιόμορφους χώρους

Όπως η πιο φυσική και γενική ρύθμιση για τη συνέχεια είναι οι τοπολογικοί χώροι, το πιο φυσικό και γενικό σκηνικό για τη μελέτη της ομοιόμορφης συνέχειας είναι οι ομοιόμορφοι χώροι . Μια συνάρτηση f : Χ → Y μεταξύ ομοιόμορφων χώρων ονομάζεται ομοιόμορφα συνεχής αν για κάθε entourage V στο Y υπάρχει ένας entourage U στο X έτσι ώστε για κάθε ( x ₁, x ₂ ) στο U να έχουμε ( f ( x ₁ ), f ( x ₂ )) στο V .

Σε αυτήν την περίπτωση, είναι επίσης αλήθες ότι οι ομοιόμορφα συνεχείς απεικονίσεις μετατρέπουν τις ακολουθίες Cauchy σε ακολουθίες Cauchy.

Κάθε συμπαγής χώρος Hausdorff διαθέτει ακριβώς μια ομοιόμορφη δομή συμβατή με την τοπολογία. Μια συνέπεια είναι μια γενίκευση του θεωρήματος Heine-Cantor: κάθε συνεχής συνάρτηση από έναν συμπαγή χώρο Hausdorff σε έναν ομοιόμορφο χώρο είναι ομοιόμορφα συνεχής.

Δείτε επίσης

• Ομοιόμορφος ισομορφισμός – Ομοιόμορφα συνεχής ομοιομορφισμός

Περαιτέρω ανάγνωση

• Bourbaki, Nicolas. General Topology: Chapters 1–4. ISBN 0-387-19374-X.  Chapter II is a comprehensive reference of uniform spaces.
• Dieudonné, Jean (1960). Foundations of Modern Analysis. Academic Press. 
• Fitzpatrick, Patrick (2006). Advanced Calculus. Brooks/Cole. ISBN 0-534-92612-6. 
• Kelley, John L. (1955). General topology. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6. 
•  
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005), «Bolzano and uniform continuity», Historia Mathematica 32 (3): 303–311, doi:10.1016/j.hm.2004.11.003