Κατασκευάσιμο σύνολο (τοπολογία)

Για ένα εποικοδομητικό σύνολο του Γκέντελ, δείτε Οικοδομήσιμο Σύμπαν.

Στην τοπολογία, τα κατασκευάσιμα σύνολα είναι μια κατηγορία υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου που έχουν μια σχετικά "απλή" δομή. Χρησιμοποιούνται ιδιαίτερα στην αλγεβρική γεωμετρία και σε συναφή πεδία. Ένα βασικό αποτέλεσμα γνωστό ως θεώρημα Σεβαλέ στην αλγεβρική γεωμετρία δείχνει ότι η εικόνα ενός κατασκευάσιμου συνόλου είναι κατασκευάσιμη για μια σημαντική κατηγορία απεικονίσεων (πιο συγκεκριμένα μορφισμών) αλγεβρικών ποικιλιών (ή γενικότερα σχημάτων). Επιπλέον, πολλές από τις "τοπικές" γεωμετρικές ιδιότητες των συστημάτων, μορφισμών και δεματιών είναι (τοπικά) κατασκευάσιμες. Τα κατασκευάσιμα σύνολα εμφανίζονται επίσης στον ορισμό διαφόρων τύπων κατασκευάσιμων κυψελών στην αλγεβρική γεωμετρία και στην συνομολογία διατομών.

Ορισμοί

Ένας απλός ορισμός, επαρκής σε πολλές περιπτώσεις, είναι ότι ένα κατασκευάσιμο σύνολο είναι μια πεπερασμένη ένωση τοπικά κλειστών συνόλων. (Ένα σύνολο είναι τοπικά κλειστό αν είναι τομή ενός ανοικτού συνόλου και ενός κλειστού συνόλου). Ωστόσο, μια τροποποίηση και ένας άλλος ελαφρώς ασθενέστερος ορισμός είναι απαραίτητοι για να προκύψουν ορισμοί που συμπεριφέρονται καλύτερα σε "μεγάλους" χώρους:

Ορισμοί: Ένα υποσύνολο $Z$ ενός τοπολογικού χώρου $X$ καλείται αναδρομικά συμπαγές αν$Z\cap U$ είναι συμπαγές για κάθε συμπαγές ανοικτό υποσύνολο $U\subset X$. Ένα υποσύνολο του $X$ είναι κατασκευάσιμο αν είναι μια πεπερασμένη ένωση υποσυνόλων της μορφής $U\cap (X-V)$ όπου τόσο το $U$ όσο και το $V$ είναι ανοικτά και αναδρομικά συμπαγή υποσύνολα του $X$. Ένα υποσύνολο $Z\subset X$ είναι τοπικά κατασκευάσιμο αν υπάρχει ένα κάλυμμα $(U_{i})_{i\in I}$ of $X$ του $X$ που αποτελείται από ανοικτά υποσύνολα με την ιδιότητα ότι κάθε $Z\cap U_{i}$ είναι ένα κατασκευάσιμο υποσύνολο του $U_{i}$.

Αντίστοιχα, τα κατασκευάσιμα υποσύνολα ενός τοπολογικού χώρου $X$ είναι η μικρότερη συλλογή ${\mathfrak {C}}$ υποσυνόλων του $X$ που (i) περιέχει όλα τα ανοικτά αναδρομικά συμπαγή υποσύνολα και (ii) περιέχει όλα τα συμπληρώματα και τις πεπερασμένες ενώσεις (και επομένως και τις πεπερασμένες τομές) των συνόλων του. Με άλλα λόγια, τα κατασκευάσιμα σύνολα είναι ακριβώς η άλγεβρα Μπουλ που παράγεται από αναδρομικά συμπαγή ανοικτά υποσύνολα.

Σε έναν τοπικά Νέτερ τοπολογικό χώρο, όλα τα υποσύνολα είναι αναδρομικά συμπαγή, και έτσι για τέτοιους χώρους ο απλοποιημένος ορισμός που δόθηκε πρώτος παραπάνω είναι ισοδύναμος με τον πιο περίπλοκο. Τα περισσότερα σχήματα που συναντώνται συνήθως στην αλγεβρική γεωμετρία (συμπεριλαμβανομένων όλων των αλγεβρικών ποικιλιών) είναι τοπικά Νέτερ, αλλά υπάρχουν σημαντικές κατασκευές που οδηγούν σε πιο γενικά σχήματα.

Σε κάθε τοπολογικό χώρο (όχι απαραίτητα Νέτερ), κάθε κατασκευάσιμο σύνολο περιέχει ένα πυκνό ανοικτό υποσύνολο του κλεισίματός του.

Ορολογία: Ο ορισμός που δίνεται εδώ είναι αυτός που χρησιμοποιείται από την πρώτη έκδοση της EGA και το Stacks Project. Στη δεύτερη έκδοση της EGA τα κατασκευάσιμα σύνολα (σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό) ονομάζονται " συνολικά κατασκευάσιμα", ενώ η λέξη "κατασκευάσιμα" προορίζεται για αυτά που ονομάζονται τοπικά κατασκευάσιμα παραπάνω.

Θεώρημα Σεβαλέ

Ένας σημαντικός λόγος για τη σημασία των κατασκευάσιμων συνόλων στην αλγεβρική γεωμετρία είναι ότι η εικόνα ενός (τοπικά) κατασκευάσιμου συνόλου είναι επίσης (τοπικά) κατασκευάσιμη για μια μεγάλη κατηγορία χαρτών (ή "μορφισμών"). Το βασικό αποτέλεσμα είναι το εξής:

Το θεώρημα του Σεβαλέ. Αν $f:X\to Y$ είναι ένας πεπερασμένης παρουσίαση μορφισμός σχημάτων και το $Z\subset X$ είναι ένα τοπικά κατασκευάσιμο υποσύνολο, τότε το $f(Z)$ είναι επίσης τοπικά κατασκευάσιμο στο $Y$.

Ειδικότερα, η εικόνα μιας αλγεβρικής ποικιλίας δεν χρειάζεται να είναι ποικιλία, αλλά είναι (υπό τις προϋποθέσεις) πάντα ένα κατασκευάσιμο σύνολο. Παραδείγματος χάριν, ο χάρτης $\mathbf {A} ^{2}\rightarrow \mathbf {A} ^{2}$ που στέλνει το $(x,y)$ στο $(x,xy)$ έχει εικόνα το σύνολο $\{x\neq 0\}\cup \{x=y=0\}$, το οποίο δεν είναι ποικιλία, αλλά είναι κατασκευάσιμο.

Το θεώρημα του Σεβαλέ στη γενικότητα που αναφέρεται παραπάνω θα αποτύγχανε αν χρησιµοποιούσαµε τον απλουστευµένο ορισµό των κατασκευάσιµων συνόλων (χωρίς περιορισμό σε αναδρομικά συμπαγή ανοικτά σύνολα στον ορισμό).

Κατασκευάσιμες ιδιότητες

Ένας μεγάλος αριθμός "τοπικών" ιδιοτήτων μορφισμών σχημάτων και οιονεί συνεκτικών δεματιών σε σχήματα ισχύουν για ένα τοπικά κατασκευάσιμο υποσύνολο. Η EGA IV § 9 καλύπτει μεγάλο αριθμό τέτοιων ιδιοτήτων. Παρακάτω παρατίθενται μερικά παραδείγματα (όπου όλες οι αναφορές παραπέμπουν στην EGA IV):

• Αν $f\colon X\rightarrow S$ αποτελεί έναν πεπερασμένα παρουσιαζόμενο μορφισμό σχημάτων και ${\mathcal {F}}'\rightarrow {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}''$ είναι μια ακολουθία πεπερασμένα παρουσιασμένων οιονεί- συνεκτικών ${\mathcal {O}}_{X}$-μονάδων, τότε το σύνολο των $s\in S$ για το οποίο το ${\mathcal {F}}'_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}_{s}\rightarrow {\mathcal {F}}''_{s}$ είναι ακριβές είναι τοπικά κατασκευάσιμο. (Πρόταση (9.4.4))
• Αν $f\colon X\rightarrow S$ αποτελεί έναν πεπερασμένα παρουσιαζόμενο μορφισμό σχημάτων και ${\mathcal {F}}$ είναι ένα πεπερασμένο οιονεί συνεκτικό μοντέλο. ${\mathcal {O}}_{X}$-module, τότε το σύνολο των $s\in S$ για τα οποία το ${\mathcal {F}}_{s}$ είναι τοπικά ελεύθερο είναι τοπικά κατασκευάσιμο. (Πρόταση (9.4.7))
• Αν $f\colon X\rightarrow S$ αποτελεί έναν πεπερασμένα παρουσιαζόμενο μορφισμό σχημάτων και $Z\subset X$ είναι ένα τοπικά κατασκευάσιμο υποσύνολο, τότε το σύνολο $s\in S$ για το οποίο $s\in S$ είναι κλειστό (ή ανοικτό) στο $f^{-1}(s)$ είναι τοπικά κατασκευάσιμο. (Πόρισμα (9.5.4))
• Έστω $S$ ένα σχήμα και $f\colon X\rightarrow Y$ ένας μορφισμός των σχημάτων $S$. Θεωρούμε το σύνολο $P\subset S$ των $s\in S$ για το οποίο ο επαγόμενος μορφισμός$f_{s}\colon X_{s}\rightarrow Y_{s}$ των ινών πάνω στο $s$ έχει κάποια ιδιότητα $\mathbf {P}$. Τότε η $P$ είναι τοπικά κατασκευάσιμη αν $\mathbf {P}$ είναι οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ιδιότητες: επιφανειακή, κατάλληλη, πεπερασμένη, βύθιση, κλειστή βύθιση, ανοικτή βύθιση, ισομορφισμός. (Πρόταση (9.6.1))
• Έστω $f\colon X\rightarrow S$ αποτελεί έναν πεπερασμένα παρουσιαζόμενο μορφισμό σχημάτων και θεωρούμε το σύνολο $P\subset S$ of $s\in S$ των $s\in S$ για το οποίο η ίνα $f^{-1}(s)$ έχει την ιδιότητα $\mathbf {P}$. Τότε η $P$ είναι τοπικά κατασκευάσιμη αν $\mathbf {P}$ έχει οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ιδιότητες: γεωμετρικά μη αναγώγιμη, γεωμετρικά συνδεδεμένη, γεωμετρικά μειωμένη. (Θεώρημα (9.7.7))
• Έστω $f\colon X\rightarrow S$ ένας τοπικά πεπερασμένα παρουσιασμένος μορφισμός σχημάτων και θεωρούμε το σύνολο $P\subset X$ των $x\in X$ για το οποίο η ίνα $f^{-1}(f(x))$ έχει την ιδιότητα $\mathbf {P}$. Τότε η $P$ είναι τοπικά κατασκευάσιμη αν $\mathbf {P}$ έχει οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ιδιότητες: γεωμετρικά κανονικό, γεωμετρικά κανονικό, γεωμετρικά μειωμένο. (Πρόταση (9.9.4))

Σημαντικός ρόλος αυτών των αποτελεσμάτων κατασκευασιμότητας είναι ότι, στις περισσότερες περιπτώσεις, υποθέτοντας ότι οι εν λόγω μορφισμοί είναι επίσης επίπεδοι, προκύπτει ότι οι συγκεκριμένες ιδιότητες ισχύουν στην πραγματικότητα σε ένα ανοικτό υποσύνολο. Ένας σημαντικός αριθμός τέτοιων αποτελεσμάτων περιλαμβάνεται στην EGA IV § 12.

Βιβλιογραφία

• Allouche, Jean Paul. Note on the constructible sets of a topological space.
• Andradas, Carlos· Bröcker, Ludwig· Ruiz, Jesús M. (1996). Constructible sets in real geometry. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) --- Results in Mathematics and Related Areas (3). 33. Berlin: Springer-Verlag. σελίδες x+270. ISBN 3-540-60451-0. MR 1393194. 
• Borel, Armand. Linear algebraic groups.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 11. doi:10.1007/bf02684274. MR 0217085.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1966). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 28. doi:10.1007/bf02684343. MR 0217086.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (in French). Vol. 166 (2nd ed.). Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05113-8.
• Mostowski, A. (1969). Constructible sets with applications. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Amsterdam --- Warsaw: North-Holland Publishing Co. ---- PWN-Polish Scientific Publishers. σελίδες ix+269. MR 0255390. 

Δείτε επίσης

• Commutative algebra

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC Topological definition of (local) constructibility
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H Constructibility properties of morphisms of schemes (incl. Chevalley's theorem)