Το θεώρημα του Όιλερ δίνει έναν τύπο για την απόσταση
O
I
{\displaystyle \mathrm {OI} }
R
{\displaystyle R}
r
{\displaystyle r}
Στην γεωμετρία , το θεώρημα του Όιλερ ή σχέση Όιλερ (αναφέρεται και ως θεώρημα του Euler ή σχέση Euler ) είναι ο τύπος για την απόσταση του περίκεντρου
O
{\displaystyle \mathrm {O} }
έγκεντρο
I
{\displaystyle \mathrm {I} }
τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
[1] :215-216
O
I
2
=
R
2
−
2
R
ρ
{\displaystyle \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho }
όπου
R
{\displaystyle R}
ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και
ρ
{\displaystyle \rho }
εγγεγραμμένου κύκλου .
Επίσης, αν
J
A
,
J
B
,
J
Γ
{\displaystyle \mathrm {J_{A}} ,\mathrm {J_{B}} ,\mathrm {J_{\Gamma }} }
παρεγγεγραμμένων κύκλων και
ρ
A
,
ρ
B
,
ρ
Γ
{\displaystyle \rho _{\mathrm {A} },\rho _{\mathrm {B} },\rho _{\mathrm {\Gamma } }}
O
J
A
2
=
R
2
+
2
R
ρ
A
,
{\displaystyle \mathrm {OJ_{A}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {A} },\quad }
O
J
B
2
=
R
2
+
2
R
ρ
B
,
{\displaystyle \mathrm {OJ_{B}} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {B} },\quad }
O
J
Γ
2
=
R
2
+
2
R
ρ
Γ
.
{\displaystyle \quad \mathrm {OJ_{\Gamma }} ^{2}=R^{2}+2R\rho _{\mathrm {\Gamma } }.}
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λέοναρντ Όιλερ που το δημοσίευσε το 1765.[2] William Chapple το 1746.[3]
Σχήμα απόδειξης για το θεώρημα του Όιλερ. Θεωρούμε την τομή
Δ
{\displaystyle \mathrm {\Delta } }
A
I
{\displaystyle \mathrm {AI} }
E
{\displaystyle \mathrm {E} }
αντιδιαμετρικό σημείο του
Δ
{\displaystyle \mathrm {\Delta } }
Τώρα θα δείξουμε ότι
I
Δ
=
B
Δ
{\displaystyle \mathrm {I\Delta } =\mathrm {B\Delta } }
∠
B
I
Δ
=
∠
I
A
B
+
∠
I
B
A
=
1
2
⋅
(
A
^
+
B
^
)
{\displaystyle \angle \mathrm {BI\Delta } =\angle \mathrm {IAB} +\angle \mathrm {IBA} ={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }})}
εξωτερική γωνία στο τρίγωνο
A
I
B
{\displaystyle \mathrm {AIB} }
∠
I
B
Δ
=
1
2
⋅
(
A
^
+
B
^
)
{\displaystyle \angle \mathrm {IB\Delta } ={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\hat {\mathrm {A} }}+{\hat {\mathrm {B} }})}
∠
I
B
Γ
=
1
2
B
^
{\displaystyle \angle \mathrm {IB\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {B} }}}
∠
Δ
B
Γ
=
∠
Δ
A
Γ
=
1
2
A
^
{\displaystyle \angle \mathrm {\Delta B\Gamma } =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }}}
εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στα ίδια τόξα .
Συνεπώς, το τρίγωνο
B
I
Δ
{\displaystyle \mathrm {BI\Delta } }
ισοσκελές και
B
Δ
=
I
Δ
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {I\Delta } }
Στην συνέχεια, τα ορθογώνια τρίγωνα
A
I
I
Γ
{\displaystyle \mathrm {AI~I_{\Gamma }} }
B
Δ
E
{\displaystyle \mathrm {B\Delta E} }
I
A
I
I
Γ
=
Δ
E
B
Δ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {IA} }{\mathrm {I~I_{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {\Delta E} }{\mathrm {B\Delta } }}}
Χρησιμοποιώντας ότι
I
I
Γ
=
ρ
{\displaystyle \mathrm {I~I_{\Gamma }} =\rho }
Δ
E
=
2
R
{\displaystyle \mathrm {\Delta E} =2R}
B
Δ
=
I
Δ
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {I\Delta } }
I
A
⋅
I
Δ
=
B
E
⋅
I
I
Γ
=
2
R
⋅
ρ
{\displaystyle \mathrm {IA} \cdot \mathrm {I\Delta } =\mathrm {BE} \cdot \mathrm {I~I_{\Gamma }} =2R\cdot \rho }
Τέλος από την δύναμη του
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
R
2
−
O
I
2
=
2
R
ρ
⇒
O
I
2
=
R
2
−
2
R
ρ
{\displaystyle R^{2}-\mathrm {OI} ^{2}=2R\rho \Rightarrow \mathrm {OI} ^{2}=R^{2}-2R\rho }
↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη. ↑ Leversha, Gerry; Smith, G. C. (November 2007), «Euler and triangle geometry», The Mathematical Gazette 91 (522): 436–452, doi :10.1017/S0025557200182087 ↑ Chapple, William (1746), «An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles» , Miscellanea Curiosa Mathematica 4 : 117–124, https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/n142 
