Το εμβαδόν των πράσινων τετραγώνων ισούται με το εμβαδόν των μπλε. Στη γεωμετρία , το θεώρημα Καρνό (αναφέρεται και ως θεώρημα Carnot ) είναι μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να συντρέχουν τρεις ευθείες κάθετες στις πλευρές ενός τριγώνου .
Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
P
A
,
P
B
,
P
Γ
{\displaystyle \mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }} }
[1] :203 [2] :184-186
A
P
B
2
+
Γ
P
A
2
+
B
P
Γ
2
=
A
P
Γ
2
+
Γ
P
B
2
+
B
P
A
2
.
{\displaystyle \mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}} ^{2}.}
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Λαζάρ Καρνό και είναι μία γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος .
Σχήμα απόδειξης του αντίστροφου θεωρήματος. Έστω ένα σημείο
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
P
A
,
P
B
,
P
Γ
{\displaystyle \mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }} }
A
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }
Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα
A
P
B
P
{\displaystyle \mathrm {AP_{B}P} }
Γ
P
A
P
{\displaystyle \mathrm {\Gamma P_{A}P} }
B
P
Γ
P
{\displaystyle \mathrm {BP_{\Gamma }P} }
A
P
B
2
+
Γ
P
A
2
+
B
P
Γ
2
=
(
A
P
2
−
P
P
B
2
)
+
(
Γ
P
2
−
P
P
A
2
)
+
(
B
P
2
−
P
P
Γ
2
)
=
(
A
P
2
−
P
P
Γ
2
)
+
(
Γ
P
2
−
P
P
B
2
)
+
(
B
P
2
−
P
P
A
2
)
=
A
P
Γ
2
+
Γ
P
B
2
+
B
P
A
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}&=(\mathrm {AP} ^{2}-\mathrm {PP_{B}} ^{2})+(\mathrm {\Gamma P} ^{2}-\mathrm {PP_{A}} ^{2})+(\mathrm {BP} ^{2}-\mathrm {PP_{\Gamma }} ^{2})\\&=(\mathrm {AP} ^{2}-\mathrm {PP_{\Gamma }} ^{2})+(\mathrm {\Gamma P} ^{2}-\mathrm {PP_{B}} ^{2})+(\mathrm {BP} ^{2}-\mathrm {PP_{A}} ^{2})\\&=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}} ^{2},\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στα ορθογώνια τρίγωνα
A
P
Γ
P
{\displaystyle \mathrm {AP_{\Gamma }P} }
Γ
P
B
P
{\displaystyle \mathrm {\Gamma P_{B}P} }
B
P
A
P
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}P} }
Σχήμα απόδειξης του αντίστροφου θεωρήματος. Για το αντίστροφο, έστω
ϵ
A
,
ϵ
B
,
ϵ
Γ
{\displaystyle \epsilon _{\mathrm {A} },\epsilon _{\mathrm {B} },\epsilon _{\Gamma }}
P
A
,
P
B
,
P
Γ
{\displaystyle \mathrm {P_{A}} ,\mathrm {P_{B}} ,\mathrm {P_{\Gamma }} }
A
P
B
2
+
Γ
P
A
2
+
B
P
Γ
2
=
A
P
Γ
2
+
Γ
P
B
2
+
B
P
A
2
.
{\displaystyle \mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}} ^{2}.}
(2
Επίσης, θεωρούμε
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
ϵ
B
{\displaystyle \epsilon _{\mathrm {B} }}
ϵ
Γ
{\displaystyle \epsilon _{\Gamma }}
Θεωρούμε
P
A
′
{\displaystyle \mathrm {P} _{\mathrm {A} }'}
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
B
Γ
{\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }
P
A
′
=
P
A
{\displaystyle \mathrm {P} _{\mathrm {A} }'=\mathrm {P} _{\mathrm {A} }}
A
P
B
2
+
Γ
P
A
′
2
+
B
P
Γ
2
=
A
P
Γ
2
+
Γ
P
B
2
+
B
P
A
′
2
.
{\displaystyle \mathrm {AP_{B}} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{A}'} ^{2}+\mathrm {BP_{\Gamma }} ^{2}=\mathrm {AP_{\Gamma }} ^{2}+\mathrm {\Gamma P_{B}} ^{2}+\mathrm {BP_{A}'} ^{2}.}
(2
Συνδυάζοντας τις (1 2
B
P
A
′
2
−
Γ
P
A
′
2
=
B
P
A
2
−
Γ
P
A
2
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}'} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}'} ^{2}=\mathrm {BP_{A}} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2}}
Χρησιμοποιώντας ότι
B
P
A
′
=
A
Γ
−
Γ
P
A
′
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}'} =\mathrm {A\Gamma } -\mathrm {\Gamma P_{A}'} }
B
P
A
=
A
Γ
−
Γ
P
A
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}} =\mathrm {A\Gamma } -\mathrm {\Gamma P_{A}} }
B
P
A
′
2
−
Γ
P
A
′
2
=
B
P
A
2
−
Γ
P
A
2
,
{\displaystyle \mathrm {BP_{A}'} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}'} ^{2}=\mathrm {BP_{A}} ^{2}-\mathrm {\Gamma P_{A}} ^{2},}
και συνεπώς τα σημεία
P
A
′
{\displaystyle \mathrm {P_{A}'} }
P
A
{\displaystyle \mathrm {P_{A}} }
↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία . Αθήνα: Ι. Χιωτελη. ↑ Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά . Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0 . 
