Διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς

Στα μαθηματικά και στη φυσική, κυρίως στη θεωρία των ορθογωνίων ομάδων (όπως η περιστροφή ή οι ομάδες Lorentz), ένα διάνυσμα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς (σπίνορας) είναι ένα στοιχείο ενός διανυσματικού χώρου, μια αναπαράσταση χώρου της άλγεβρας Clifford που συνδέεται με ένα διανυσματικό χώρο με μια τετραγωνική μορφή (όπως ο Ευκλείδειος χώρος με την πρότυπη μετρική ή ο χώρος Minkowski με τη μετρική Lorentz). Όπως τα διανύσματα, έτσι και τα διανύσματα μιγαδικών είναι αναπαραστάσεις ειδικής ορθογώνιας άλγεβρας Lie δηλαδή αυτά (Spinor) μετατρέπουν απειροελάχιστους ορθογώνιους μετασχηματισμούς (όπως οι απειροελάχιστες περιστροφές ή οι απειροελάχιστοι μετασχηματισμοί Lorentz). Γενικά τα διανύσματα μιγαδικών ανακαλύφθηκαν από τον Elie Cartan το 1913. Λίγο αργότερα, τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς αποδείχθηκαν ότι είναι απαραίτητα στην Κβαντική μηχανική για να περιγράψουν το ηλεκτρόνιο και άλλα spin-½ σωματίδια.

Όπως τα διανύσματα και οι τανυστές, οι ιδιότητες μετασχηματισμού των διανυσμάτων μιγαδικών βασίζονται στον ορισμό τους. Ωστόσο, σε αντίθεση με τα διανύσματα, τα αντίστοιχα των μιγαδικών μετασχηματισμών πάνω σε σημείο υπό την ορθογώνια ομάδα. Αυτό σημαίνει ότι μια περιστροφή 360 μοιρών μετασχηματίζει ένα διάνυσμα μιγαδικών στον αντίστοιχο αρνητικό του, και έτσι περιστρέφεται 720 μοίρες για να αποκτήσει ξανά την αρχική του μορφή. Εξάλλου, σε αντίθεση με τους τανυστές, ο χώρος των μιγαδικών δεν μπορεί να δημιουργηθεί με μοναδικό και φυσικό τρόπο από διανύσματα χώρου. Ανάλογα με την τετραγωνική τους μορφή , μπορεί να υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί αλλά στενά συνδεδεμένοι χώροι μιγαδικών με επιπλέον ιδιότητες.

Στη φυσική, τα διανύσματα αυτά έχουν ευρύ φάσμα εφαρμογών. Στην κβαντική μηχανική, τα διανύσματα μιγαδικών σε τρεις διαστάσεις συνηθίζουν να περιγράφουν το Σπιν από τα μη σχετικιστικά ηλεκτρόνια και άλλα φερμιόνια. Τα διανύσματα του Dirac, και του Lorentz σε χώρο με 4 διαστάσεις, απαιτούνται για τη μαθηματική περιγραφή της κβαντικής κατάστασης της Σχετικότητας ηλεκτρονίων μέσω της εξίσωσης του Ντιράκ. Στην Κβαντική θεωρία πεδίου, τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς περιγράφουν την κατάσταση των συστημάτων με πολλά σωματίδια.

Στα μαθηματικά και ιδιαίτερα στη Διαφορική γεωμετρία και στη σφαιρική ανάλυση,τα διανύσματα αυτά έχουν βρει ευρείες εφαρμογές στην αλγεβρική και διαφορική τοπολογία, symplectic geometry, gauge theory, complex algebraic geometry, index theory, and special holonomy.

Επισκόπηση

Στην κλασική γεωμετρία του χώρου, ένα διάνυσμα παρουσιάζει μια συγκεκριμένη συμπεριφορά όταν προκύπτει από περιστροφή ή από αντανάκλαση σε ένα υπερεπίπεδο. Ωστόσο, ορισμένες περιστροφές και αντανακλάσεις περιέχουν λεπτότερες γεωμετρικές πληροφορίες που μπορούν να εκφραστούν από τη δράση τους στα διανύσματα. Τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς είναι αντικείμενα που κατασκευάστηκαν με σκοπό να κάνουν τη γεωμετρία πληρέστερη.

Ουσιαστικά υπάρχουν δυο περιπτώσεις για να καταλάβουμε καλύτερα την έννοια ενός τέτοιου διανύσματος (spinor).

Στην πρώτη περίπτωση γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι υπάρχουν μερικές αναπαραστάσεις της άλγεβρας Lie των ορθογώνιων ομάδων που δεν μπορούν να σχηματιστούν από το συνηθισμένο τρόπο κατασκευής ενός τανυστή. Αυτές οι αναπαραστάσεις αργότερα αναφέρονται ως αναπαραστάσεις περιστροφής, και συμπεριλαμβάνουν τα συστατικά μέρη των μιγαδικών διανυσμάτων. Απ' την όψη αυτή, ένα διάνυσμα μιγαδικών πρέπει να ανήκει σε μια ομάδα από την ειδική ομάδα περιστροφής SO(n,R), ή γενικότερα από την ειδική γενικευμένη ορθογώνια ομάδα SO⁺(p,q,R) σε χώρους με μετρική υπογραφή (p,q). Αυτές είναι οι ομάδες Lies, και ονομάστηκαν ομάδες περιστροφής Spin(p,q). Όλες οι ιδιότητες των διανυσμάτων με μιγαδικούς αριθμούς, οι εφαρμογές τους και τα παράγωγα αντικείμενα, παρουσιάστηκαν πρώτα στις ομάδες περιστροφής. Οι αναπαραστάσεις των ομάδων αυτών παράγουν τιςπροβολικές αναπαραστάσεις των ίδιων των ομάδων, που δεν πληρούν ακριβώς τον ορισμό αυτό.

Η άλλη περίπτωση είναι γεωμετρική. Κάποιος μπορεί να κατασκευάσει τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς και να δει πως συμπεριφέρονται υπο την επίδραση των σχετικών ομάδων Lie. Η τελευταία προσέγγιση έχει το πλεονέκτημα ότι παρέχει μια στοιχειώδη περιγραφή για το τι είναι αυτό το διάνυσμα. Ωστόσο, όσο δύσκολη είναι αυτή η περιγραφή που περιπλέκει τις ιδιότητες από τα διανύσματα μιγαδικών αριθμών, χρειάζεται.

Άλγεβρα Clifford

Η γλώσσα της άλγεβρας Clifford παρέχει μια πλήρη αναπαράσταση όλων των ομάδων περιστροφής, και τις σχέσεις μεταξύ αυτών των αναπαραστάσεων, μέσω της classification of Clifford algebra\ταξινόμησης της άλγεβρας Clifford.

Αναλυτικά, αν το V είναι πεπερασμένων διαστάσεων διάνυσμα με ένα διγραμμικό τύπο g, η άλγεβρα Clifford Cℓ(V,g) είναι αυτή που παράγεται από το V με τη σχέση xy + yx = 2g(x,y). Είναι μια αφηρημένη εκδοχή της άλγεβρας που παράγεται από gamma ή από 2x2 πίνακες διανυσμάτων. Όπως η άλγεβρα Clifford συμβολίζεται Cℓ_n(C), όπου το C συμβολίζει ότι τα διανύσματα του V είναι κατασκευασμένα με μιγαδικούς αριθμούς, και ισχύει n = dim(V). Η Cℓ_n(C) είναι αλγεβρικά ισόμορφη με την Mat(2^k,C) των 2^kx2^k μιγαδικών πινάκων, αν n = dim(V) = 2k ή Mat(2^k,C)⊕Mat(2^k,C) είναι στοιχεία των 2^kx2^k πινάκων, ενώ αν n = dim(V) = 2k+1 τότε είναι άτοπο. Έχει επομένως μια μοναδική αναπαράσταση, που συνήθως συμβολίζεται με Δ και έχει διάσταση 2^k. Η so(V,g) έχει ενσωματωθεί στην σχέση Cℓ(V,g) εξοπλισμένη με μια παρένθεση. Επομένως, είναι επίσης μια αναπαράσταση του so(V,?g) και καλείται αναπαράσταση περιστροφής. Αν το n είναι περιττό, η παράσταση αυτή είναι ανάγωγη. Αν το n είναι άρτιος, χωρίζεται σε δυο ανάγωγες παραστάσεις Δ = Δ₊⊕Δ_- και ονομάζεται αναπαράσταση μισής περιστροφής.

Οι ανάγωγες παραστάσεις γύρω απ' τα πραγματικά και στην περίπτωση που ο V είναι ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος είναι πολύ πιο περίπλοκες, και ο αναγνώστης θα πρέπει να προσφύγει στην άλγεβρα Clifford για περισσότερες λεπτομέρειες.

Η σημασία του για τη Φυσική

Η πιο τυπική μορφή του διανύσματος με στοιχεία τους μιγαδικούς αριθμούς είναι ένα στοιχείο από τη θεμελιώδη αναπαράσταση του Cℓ_p+q(C), στην άλγεβρα Clifford Cℓ_p,q(R), στο οποίο η ομάδα Σπιν Spin(p,q) μπορεί να ενσωματωθεί. Σε ένα χώρο με διαστάσεις 2k ή 2k+1 ένα διάνυσμα μιγαδικών του Dirac μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα διάνυσμα από 2^k μιγαδικούς αριθμούς Στις άρτιες διαστάσεις, η αναπαράσταση αυτή είναι αναγώγιμη όταν λαμβάνεται ως αναπαράσταση των ομάδων Lie του Spin(p,q) και μπορεί να αναλυθεί σε δυο: τις αριστερόχειρες και τις δεξιόχειρες αναπαραστάσεις των διανυσμάτων μιγαδικών του Weyl . Επιπρόσθετα, μερικές φορές η μη-διανυσματική έκδοση του Cℓ_p,q(R) έχει μια μικρότερη πραγματική αναπαράσταση, την αναπαράστασηδιανυσμάτων μιγαδικών του Majorana. Αν αυτό συμβαίνει σε μια άρτια διάσταση , η αναπαράσταση του διανύσματος μιγαδικών του Majorana μερικές φορές θα αναλύεται σε δύο αναπαραστάσεις διανυσμάτων με στοιχεία μιγαδικούς των Majorana–Weyl.

Απ' όλα αυτά, μόνο η αναπαράσταση του Dirac υφίσταται σε όλες τις διαστάσεις. Τα διανύσματα μιγαδικών των Dirac και Weyl είναι μιγαδικές παραστάσεις όταν τα διανύσματα Majorana είναι αληθινές παραστάσεις. Τα διανύσματα μιγαδικών των Dirac, Lorentz, Weyl και Majorana είναι συγγενικά και η σχέση τους μπορεί να διευκρινιστεί στη βάση της άλγεβρας των διανυσμάτων πραγματικών αριθμών.

Τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς στην θεωρία αναπαράστασης

Μια μεγαλύτερη μαθηματική εφαρμογή της κατασκευής των διανυσμάτων μιγαδικών αριθμών είναι να καθιστούν δυνατή την κατασκευή με ακρίβεια της γραμμικής αναπαράστασης της άλγεβρας Lie από τις ειδικές ορθογώνιες ομάδες, και συνεπώς τις αναπαραστάσεις των ίδιων των ομάδων των διανυσμάτων μιγαδικών. Σε ένα πιο βαθύ επίπεδο, τα διανύσματα αυτά έχουν βρεθεί για να είναι στην καρδιά των προσεγγίσεων του θεωρήματος Atiyah–Singer, και να παρέχουν λεπτομερή κατασκευή για τις αναπαραστάσεις διακριτών σειρών of ημιαπλών ομάδων.

Οι αναπαραστάσεις περιστροφής των ειδικών ορθογώνιων ομάδων Lie είναι διακεκριμένες από τον τανυστή που δίνονται από την κατασκευή του Weyl.Επειδή οι ομομορφισμοί των τανυστών είναι ακέραιοι γραμμικοί συνδυασμοί από τις ρίζες της άλγεβρας Lie , αυτοί είναι ημιακέραιοι γραμμικοί συνδυασμοί των αντίστοιχων τανυστών. Αναλυτικότερες λεπτομέρειες μπορούν να βρεθούν στο άρθρο spin representation.

Απόπειρες διαισθητικής κατανόησης

Το διάνυσμα μιγαδικών αριθμών μπορεί να περιγραφεί, με απλούς όρους, ως “διανύσματα ενός χώρου οι μετασχηματισμοί των οποίων αναφέρονται στον ακριβή τρόπο για την εναλλαγή στον φυσικό χώρο”. Διαφορετικά:

Τα διανύσματα μιγαδικών αριθμών […] παρέχουν μια γραμμική αναπαράσταση της ομάδας της περιστροφής σε ένα χώρο δίχως αριθμούς $n$ διαστάσεων, κάθε διάνυσμα που έχει $2^{\nu }$ μέρη, όπου $n=2\nu +1$ ή $2\nu$.

Διάφοροι τρόποι διατυπώνονται κάθε μέρα που έχουν βάση διάφορα παραδείγματα.

Παρ' όλα αυτά, είναι γενικά γνωστό ότι είναι δύσκολο να κατανοηθεί, όπως διευκρινίζεται από την κατάσταση του Michael Atiyah η οποία έχει αφηγηθεί ξανά από τον βιογράφο του Dirac, Graham Farmelo:

Κανένας δεν μπορεί να κατανοήσει πλήρως τα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς. Τυπικά είναι κατανοητά αλλά στη γενικότητα τους είναι μυστηριώδη. Κατά κάποιο τρόπο περιγράφουν την “τετραγωνική ρίζα” στη γεωμετρία , όπως ακριβώς η τετραγωνική ρίζα του -1 πήρε αιώνες ν περιγραφεί, το ίδιο γίνεται και στα διανύσματα με στοιχεία τους μιγαδικούς.

Ιστορία

Η πιο γενική μαθηματική μορφή στα διανύσματα μιγαδικών ανακαλύφθηκε από τον Elie Cartan το 1913. Ο όρος "διανύσματα μιγαδικών" δημιουργήθηκε από τον Paul Ehrenfest πάνω στη μελέτη του στην Κβαντική μηχανική.

Τα διανύσματα μιγαδικών αριθμών εφαρμόστηκαν για πρώτη φορά στη Μαθηματική φυσική από τον Wolfgang Pauli το 1927, όταν παρουσίασε τους πίνακες περιστροφής του. Τον επόμενο χρόνο, ο Paul Dirac ανακάλυψε την πλήρη σχετικιστική θεωρία σπιν του ηλεκτρονίου δείχνοντας τη σύνδεση μεταξύ των διανυσμάτων με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς και των ομάδων Lorentz. Από τη δεκαετία του 1930, ο Dirac, ο Piet Hein και άλλοι από το ινστιτούτο Niels Bohr Institute (αργότερα έγινε γνωστό ως Ινστιτούτο Θεωρητικής Φυσικής του Πανεπιστημίου της Κοπεγχάγης) που δημιουργούσε παιχνίδια όπως Tangloids για να διδάσκουν το μοντέλο των διανυσμάτων μιγαδικών.

Οι χώροι διανυσμάτων μιγαδικών αριθμών αναπαρουσιάστηκαν ως αριστερά ιδεώδη ενός πίνακα το 1930, από τον G. Juvet και από τον Fritz Sauter. Ειδικότερα, αντί για αναπαράσταση των διανυσμάτων ως διανύσματα με μιγαδικές τιμές στον 2D χώρο διανυσμάτων όπως έκανε ο Paul, παρουσιάστηκαν ξανά σαν πίνακες 2 x 2 με μιγαδικούς αριθμούς στους οποίους τα στοιχεία της αριστερής στήλης είναι μη μηδενικά. Με αυτό τον τρόπο ο χώρος μιγαδικών αριθμών έγινε το κατώτατο αριστερό ιδεώδες στο Mat(2,C).

Το 1947 ο Marcel Riesz κατασκεύασε τους χώρους μιγαδικών αριθμών σαν στοιχεία ενός κατώτατου αριστερού ιδεώδους της άλγεβρας Clifford. Το 1966/1967, ο David Hestenes αντικατέστησε τους χώρους αυτούς με την Cℓ⁰_1,3(R) της Cℓ_1,3(R). Όπως στη δεκαετία του 1980, η ομάδα της θεωρητικής φυσικής στο Birkbeck College γύρω από τον David Bohm και τον Basil Hiley είχαν αναπτύξει τις αλγεβρικές προσεγγίσεις στην Κβαντική θεωρία που χτίστηκε στην αναγνώριση των διανυσμάτων μιγαδικών με κατώτατα αριστερά ιδεώδη από τους Sauter και Riesz'.

Παραδείγματα

Μερικά απλά παραδείγματα των διανυσμάτων μιγαδικών αριθμών σε λίγες διαστάσεις προκύπτουν από την άρτιου-βαθμού υποάλγεβρα της άλγεβρας Clifford Cℓ_p,q(R). Αυτό είναι μια άλγεβρα βασισμένη σε μια ορθογώνια βάση n = p+q ορθογώνιων διανυσμάτων με πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, όπου τα p έχουν μέτρο +1 και τα q έχουν μέτρο -1, με τους κανόνες γινομένου των βασικών διανυσμάτων

$e_{i}e_{j}={\Bigg \{}{\begin{matrix}+1&i=j,\,i\in (1\ldots p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1\ldots n)\\-e_{j}e_{i}&i\not =j.\end{matrix}}$

Δύο διαστάσεις

Η άλγεβρα Clifford Cℓ_2,0(R) είναι χτισμένη σε μια βάση από μια μονάδα βαθμωτή, 1, δυο ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα, σ₁ και σ₂, μαι μια μονάδα ψευδοβαθμωτή i = σ₁σ₂. Από τους παραπάνω ορισμούς, είναι φανερό ότι (σ₁)² = (σ₂)² = 1, και (σ₁σ₂)(σ₁σ₂) = -σ₁σ₁σ₂σ₂ = -1.

Η άρτια υποάλγεβρα Cℓ⁰_2,0(R), που συνδέεται με τα άρτιου-βαθμού βασικά στοιχεία από Cℓ_2,0(R), καθορίζει το χώρο των μιγαδικών μέσω της αναπαράστασης του. Είναι φτιαγμένος από πραγματικούς γραμμικούς συνδυασμούς από το 1 και την σ₁σ₂. Όπως μια πραγματική, Cℓ⁰_2,0(R) είναι ισόμορφη με το σύνολο των μιγαδικών αριθμών C. Επομένως, εισάγει μια συζυγή πράξη (ανάλογα με τους συζυγής μιγαδικούς), μερικές φορές ονομάζεται αντιστροφή ενός στοιχείου Clifford, που ορίζεται από

$(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}\,$.

το οποίο, με τις σχέσεις Clifford, μπορεί να γραφεί

$(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}\,$.

Η δράση ενός άρτιου στοιχείου Clifford γ ∈ Cℓ⁰_2,0(R) στα διανύσματα, που θεωρείται στοιχείο πρώτου βαθμού της C?_2,0(R), προσδιορίζεται από το σχεδιασμό ενός διανύσματος u = a₁σ₁ + a₂σ₂ προς το διάνυσμα

$\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}\,$,

όπου γ^* είναι ο συζυγής του γ και το γινόμενο είναι πολλαπλασιασμός Clifford. Στην κατάσταση αυτή, ένα διάνυσμα μιγαδικών αριθμών είναι ένας απλός μιγαδικός αριθμός. Η δράση του γ σε ένα διάνυσμα φ δίνεται απ' τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών:

$\gamma (\phi )=\gamma \phi$.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό του ορισμού αυτού είναι η διάκριση μεταξύ κοινών διανυσμάτων και διανυσμάτων μιγαδικών αριθμών και εκδηλώνεται στο πως τα άρτιου-βαθμού στοιχεία ενεργούν στο καθένα απ αυτά με διαφορετικούς τρόπους. Γενικά, ένας γρήγορος έλεγχος των σχέσεων Clifford αποκαλύπτουν ότι τα άρτιου-βαθμού στοιχεία κλίνουν-εναλλάσσονται με απλά διανύσματα:

$\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u\,$.

Από την άλλη, αν τα συγκρίνουμε με τη δράση τους πάνω στα διανύσματα μιγαδικών γ(φ)=γφ, γ κοινά διανύσματα που εμφανίζονται ως το τετράγωνο της δράσης τους στα διανύσματα μιγαδικών αριθμών.

Θεωρούμε , για παράδειγμα, μια περιστροφή πάνω στο επίπεδο. Περιστρέφοντας ένα διάνυσμα κατά μια γωνία θ αντιστοιχεί σε γ² = exp(θσ₁σ₂), και έτσι αυτή η δράση στα διανύσματα μιγαδικών γίνεται μέσω γ = ±exp(θσ₁σ₂/2). Γενικά, εξαιτίας των λογαρίθμων, είναι απίθανο να επιλέξουμε ένα σύμβολο με συνεπή τρόπο. Έτσι, η αναπαράσταση της περιστροφής των διανυσμάτων με στοιχεία τους μιγαδικούς αριθμούς παίρνει 2 τιμές.

Στις εφαρμογές των διανυσμάτων αυτών σε δύο διαστάσεις, μπορούμε να εκμεταλλευτούμε το γεγονός ότι η άλγεβρα των άρτιου-βαθμού στοιχείων (που είναι ο δακτύλιος των μιγαδικών αριθμών) είναι απαράλλακτη με το χώρο των μιγαδικών διανυσμάτων. Έτσι, με τη σύγχυση της γλώσσας, πολλές φορές αυτά τα δυο συγχέονται. κάποιος μπορεί να μιλάει σχετικά με τη "δράση ενός διανύσματος μιγαδικών σε ένα άλλο διάνυσμα." Σε γενική ομολογία αυτά δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία. Αλλά στις διαστάσεις 2 και 3 (όπως εφαρμόζεται, για παράδειγμα, στα Γραφικά υπολογιστών) προκαλούν αίσθηση.

Παραδείγματα

• Το άρτιου βαθμού στοιχείο

$\gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\,$

αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα από περιστροφή 90° από το σ₁ στο σ₂, το οποίο μπορεί να ελεγχθεί εξακριβώνοντας ότι

${\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\,\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}\,$

Αυτό αντιστοιχεί σε περιστροφή 45° ενός διανύσματος μιγαδικών, ωστόσο:

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\,\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}$

• Όμοια το άρτιου βαθμού στοιχείο γ?=??σ₁σ₂ αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα με περιστροφή 180°:

$(-\sigma _{1}\sigma _{2})\,\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}\,$

αλλά η περιστροφή ενός μιγαδικού διανύσματος κατά 90° μόνο:

$(-\sigma _{1}\sigma _{2})\,\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}$

• Συνεχίζοντας παρακάτω, το άρτιου βαθμού στοιχείο γ?=??1 αντιστοιχεί σε διάνυσμα με περιστροφή 360°:

$(-1)\,\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\,$

αλλά και σε ένα διάνυσμα μιγαδικών αριθμών με περιστροφή 180°.

.

Τρεις διαστάσεις

Η άλγεβρα Clifford Cℓ_3,0(R) χτίστηκε σε μια βάση βαθμωτή, 1, τρία ορθογώνια μοναδιαία διανύσματα, σ₁, σ₂ και σ₃, τα σ₁σ₂, σ₂σ₃, σ₃σ₁ και την ψευδοβαθμωτή i = σ₁σ₂σ₃. Έτσι, μπορούμε να δείξουμε ότι (σ₁)² = (σ₂)² = (σ₃)² = 1, και (σ₁σ₂)² = (σ₂σ₃)² = (σ₃σ₁)² = (σ₁σ₂σ₃)² = -1.

Η υποάλγεβρα των άρτου βαθμού στοιχείων φτιάχτηκε από τις βαθμωτές διαστολές,

$u^{\prime }=\rho ^{(1/2)}u\rho ^{(1/2)}=\rho u,$

και περιστροφές διανυσμάτων

$u^{\prime }=\gamma \,u\,\gamma ^{*},$

όπου

$\left.{\begin{matrix}\gamma &=&\cos(\theta /2)-\{a_{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+a_{2}\sigma _{3}\sigma _{1}+a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\}\sin(\theta /2)\\&=&\cos(\theta /2)-i\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}\}\sin(\theta /2)\\&=&\cos(\theta /2)-iv\sin(\theta /2)\end{matrix}}\right\}$ (1)

αντιστοιχεί σε ένα διάνυσμα με περιστροφή κατά γωνία θ πάνω σε ένα άξονα που ορίζεται από το διάνυσμα v = a₁σ₁+a₂σ₂+a₃σ₃.

Σε μια ειδική περίπτωση, είναι εύκολο να δούμε ότι, αν το v = σ₃ αναπαράγει την σ₁σ₂ με περιστροφή, αυτό εξετάζεται στο προηγούμενο τμήμα και αυτή η περιστροφή αφήνει τούς συντελεστές των διανυσμάτων του σ₃ σχεδόν αμετάβλητους, από

$(\cos(\theta /2)-i\sigma _{3}\sin(\theta /2))\,\sigma _{3}\,(\cos(\theta /2)+i\sigma _{3}\sin(\theta /2))=(\cos ^{2}(\theta /2)+\sin ^{2}(\theta /2))\,\sigma _{3}=\sigma _{3}.$

Τα διανύσματα σ₂σ₃, σ₃σ₁ και σ₁σ₂ είναι στην πραγματικότητα τα τετραδόνια i, j and k του Hamilton, και ανακαλύφθηκαν το 1843:

${\begin{matrix}\mathbf {i} =-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} =-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} =-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}.\end{matrix}}$

Με την ταυτοποίηση των άρτιου βαθμού στοιχείων της άλγεβρας H των τετραδονίων, όπως στην περίπτωση των δύο διαστάσεων που η μόνη αναπαράσταση των άρτιου βαθμού στοιχείων είναι ο εαυτός τους. Έτσι, τα διανύσματα μιγαδικών στις τρεις διαστάσεις είναι τετραδόνια και η επίδραση ενός άρτιου βαθμού στοιχείου σε ένα τέτοιο διάνυσμα δίνεται από τον συνήθη πολλαπλασιασμό τετραδονίων.

Παρατηρείστε ότι η έκφραση (1) για την περιστροφή ενός διανύσματος κατά μια γωνία θ, η γωνία γ εμφανίζεται μισή. Έτσι και η περιστροφή ενός διανύσματος μιγαδικών γ(ψ)=γψ (πολλαπλασιασμός τετραδονίων) θα περιστρέψει το διάνυσμα ψ κατά μια γωνία με μισό μέτρο απ' αυτή που αντιστοιχεί σε ένα απλό διάνυσμα. Για μια ακόμη φορά, το πρόβλημα της μεταφοράς μιας περιστροφής ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς έχει 2 τιμές: την έκφραση (1) με (180°+θ/2) στη θέση του θ/2 και θα πάρουμε την ίδια περιστροφή ενός απλού διανύσματος, αλλά η περιστροφή ενός διανύσματος μιγαδικών θα γίνεται προς τα αρνητικά.

Η αναπαράσταση περιστροφής των τετραδονίων σε 3D γίνεται όλο και περισσότερο στη γεωμετρία των υπολογιστών και σε άλλες εφαρμογές, εξαιτίας της αξιοσημείωτης έκφρασης που αντιστοιχεί στην περιστροφή ενός πίνακα και την απλότητα στον υπολογισμό των περιστροφών πάνω σε διαφορετικούς άξονες.

Κατασκευή με ακρίβεια

Ένας χώρος με διανύσματα μιγαδικούς αριθμούς μπορεί να κατασκευαστεί με ακρίβεια με συγκεκριμένους και με αφηρημένους τρόπους. Η ισορροπία αυτών των κατασκευών είναι μια συνέπεια της μοναδικότητας του διανύσματος μιγαδικών αριθμών της άλγεβρας Clifford.

Σύνθετα διανύσματα με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς

Αν δίνεται ένας διανυσματικός χώρος V και μια δευτεροβάθμια σχέση g, μια αναλυτική αναπαράσταση του πίνακα της Cℓ(V,g) ερμηνεύεται ως εξής. Επιλέγουμε μια ορθογώνια βάση e¹ … eⁿ του V, δηλαδή g(e^μe^ν) = η^μν όπου η^μμ = ±1 και η^μν = 0 για μ ≠ ν. Θέτουμε k = n/2. Και έχουμε 2^kx2^k πίνακες γ¹ … γⁿ έτσι ώστε γ^μγ^ν + γ^νγ^μ = η^μν1. Μετά η σχέση e^μ → γ^μ επεκτείνεται μοναδικά σε ένα ομομορφισμό Cℓ(V,g) → Mat(2^k,C) στέλνοντας τα e^μ₁ … e^μ_k για την παραγωγή των γ^μ₁ … γ^μ_k σε ένα γραμμικό πίνακα. Ο χώρος Δ = C^2kείναι τώρα ένας χώρος διανυσμάτων με στοιχεία μιγαδικούς αριθμούς. Κάποιος όμως θα χρειαστεί να φτιάξει τους πίνακες με ακρίβεια. Στη διάσταση 3, ορίζοντας τους πίνακες αυτούς να είναι οι πίνακες του Pauli δίνουμε αφορμή σε δυο όμοια διανύσματα μιγαδικών να χρησιμοποιηθούν στην μη σχετικιστική Κβαντική μηχανική. Επίσης χρησιμοποιώντας τους 4 x 4 πίνακες του Dirac δίνουμε σημασία στα μέλη του διανύσματος Dirac που χρησιμοποιούνται σε 3+1 διαστάσεις στην Κβαντική θεωρία πεδίου. Γενικότερα, κάποιος αντί γι' αυτούς τους πίνακες μπορεί να χρησιμοποιήσει τους πίνακες του Weyl–Brauer.

Στην κατασκευή αυτή η παράσταση Clifford Cℓ(V,g),η Lie so(V,g), και η ομάδα σπιν Spin(V,g), εξαρτώνται από την επιλογή ορθογώνιας βάσης και την επιλογή των πινάκων gamma. Αυτό μπορεί να προκαλέσει σύγχυση , αλλά τα ίχνη τους είναι ανεξάρτητα απ' αυτή την επιλογή. Προπάντων, όλες οι φυσικά αισθητές ποσότητες πρέπει να είναι ανεξάρτητες από τέτοιου είδους επιλογές. Στην κατασκευή αυτή ένα διάνυσμα μιγαδικών μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα διάνυσμα των 2^k μιγαδικών αριθμών και συμβολίζεται, όπως και τα διανύσματα, με τους δείκτες α,β,γ κ.ο.κ. Στην επιστήμη της φυσικής, οι τιμές αφηρημένων διανυσμάτων μιγαδικών αριθμών χρησιμοποιούνται για να υποδηλώσουν εκείνα τα διανύσματα ακόμα και όταν χρησιμοποιείται η κατασκευή ενός αφηρημένου διανύσματος μιγαδικών.

Αφηρημένα διανύσματα μιγαδικών αριθμών

Υπάρχουν τουλάχιστον δυο διαφορετικοί, αλλά ισοδύναμοι ουσιαστικά, τρόποι για να ορίσουμε τα διανύσματα μιγαδικών με ακρίβεια. Μια προσέγγιση επιδιώκει να προσδιορίσει τα ελάχιστα αριστερά ιδεώδη με τη δράση από το Cℓ(V,g) στον εαυτό τους. Υπάρχουν υποχώροι της άλγεβρας Clifford από τον τύπο Cℓ(V,g)ω, ομολογώντας τη φανερή δράση της Cℓ(V,g) από τον αριστερό πολλαπλασιασμό: c: xω > cxω. Υπάρχουν δυο παραλλαγές σ' αυτό το θέμα: το ένα μπορεί να βρει ένα αρχικό στοιχείο ω το οποίο είναι ένα μηδενοδύναμο στοιχείο της άλγεβρας Clifford,ή είναι ένα ταυτοδύναμο. Η κατασκευή μέσω της οποίας τα μηδενοδύναμα στοιχεία είναι πιο θεμελιώδη γίνεται από την αίσθησηon ότι τα ταυτοδύναμα μπορεί να παράγονται από αυτά. Με τον τρόπο αυτό, οι αναπαραστάσεις αναγνωρίζονται σε συγκεκριμένους υποχώρους της άλγεβρας Clifford στον εαυτό τους. Η δεύτερη προσέγγιση είναι ναι κατασκευάσουμε ένα διανυσματικό χώρο χρησιμοποιώντας ένα διακεκριμένο V και μετά ορίζουμε ακριβώς τη δράση της άλγεβρας Clifford εξωτερικά στο διανυσματικό χώρο.

Από άλλη προσέγγιση , η βασική έννοια είναι αυτή από ένα φανταστικό υποχώρο W. Κάθε κατασκευή εξαρτάται από την ελεύθερη επιλογή υποχώρου. Από φυσική άποψη, αντιστοιχεί στο γεγονός ότι δεν υπάρχει μετρίσιμο πρωτόκολλο που μπορεί να καθορίσει μια βάση από ένα χώρο σπιν, ακόμα και αν δίνεται μια βάση V.

Ως ανωτέρω, θέτουμε (V,g) να είναι ένας n-διάστατος χώρος μιγαδικών διανυσμάτων εξοπλισμένη με μια διγραμμική σχέση. Αν ο V είναι ένας πραγματικός χώρος, τότε αντικαθιστούμε το V με τον V⊗_RC και θέτουμε το g να δηλώνει τη διγραμμική σχέση στον V ⊗ _RC. Θέτουμε W να είναι ένας μέγιστος φανταστικός υποχώρος, δηλαδή ένας μέγιστος υποχώρος του V όπως ο g|_W=0. Αν n=2k, τότε θέτουμε W΄ να είναι ένας φανταστικός υποχώρος συμπληρωματικός του W. Αν n=2k + 1, θέτουμε W΄ να είναι ένας μέγιστος φανταστικός υποχώρος με W∩W΄ = 0, και θέτουμε το U να είναι το ορθογώνιο συμπλήρωμα του W'⊕ W. Και οι δυο περιπτώσεις W και W΄ έχουν διάσταση k. Στην περίπτωση περιττής διάστασης, το U είναι μονοδιάστατο και παράγεται απ' το μοναδιαίο διάνυσμα u.

Ελάχιστο ιδεώδες

Εφόσον το W′ είναι ισότροπο, ο πολλαπλασιασμός των στοιχείων του W′ εντός Cℓ(V, g) είναι ασύμμετρος. Ως εκ τούτου διανύσματα σε W′ αντιμετατίθενται, και Cℓ(W′, g|_W′) = Cℓ(W′, 0) είναι μόνο η εξωτερική άλγεβρα Λ^∗W′. Κατά συνέπεια, το γινόμενο k-fold του W′ με τον εαυτό του, W′^k, είναι ένα μονοδιάστατο l. 'Εστω το ω να είναι ένας γεννήτορας του W′^k. Όσον αφορά μια βάση w′₁,..., w′_k σε W′, μια πιθανότητα είναι να οριστεί

$\omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.$

Σημειώστε ότι ω² = 0 (δηλαδή το ω είναι μηδενοδύναμο στη διάταξη 2), και επιπλέον, w′ω = 0 για όλα τα w′ ∈ W′. Οι ακόλουθοι παράγοντες μπορούν να αποδειχτούν εύκολα:

1. Εάν n = 2k, τότε το αριστερό ιδεώδες Δ = Cℓ(V, g)ω είναι ένα ελαχιστοτικό αριστερό ιδεώδες. Περαιτέρω, αυτό χωρίζεται στα δύο διαστήματα περιδίνησης Δ₊ = Cℓ^evenω καιΔ₋ = Cℓ^oddω με περιορισμό στη δράση της άρτιας άλγεβρας του Clifford.
2. Εάν n = 2k + 1, τότε η δράση του διανύσματος μονάδας uστο αριστερό ιδεώδες Cℓ(V, g)ω αποσυνθέτει το διάστημα σε ένα ζεύγος ισομορφικών αμείωτων ιδιόχωρων (αμφότεροι δεικνυόμενοι με το Δ), που αντιστοιχούν στις σχετικές ιδιοτιμές +1 και −1.

Λεπτομερώς, υποθέστε για παράδειγμα ότι το n είναι άρτιο. Υποθέστε ότι το I είναι ένα μη- μηδενικό αριστερό ιδεώδες που περιέχεται στο Cℓ(V, g)ω. Θα δείξουμε ότι το I πρέπει να είναι ίσο με το Cℓ(V, g)ω αποδεικνύοντας ότι περιέχει ένα μη-μηδενικό βαθμωτό πολλαπλάσιο του ω. Ορίστε μια βάση w_i του W και μια συμπληρωματική βάση w_i′ του W′ ούτως ώστε

w_iw_j′ +w_j′ w_i = δ_ij, και

(w_i)² = 0, (w_i′)² = 0.

Σημειώστε ότι οποιονδήποτε στοιχείο του I πρέπει να έχει τη μορφή αω, δυνάμει της υπόθεσης μας ότι αω ∈ I.Έστω ότι το I ⊂ Cℓ(V, g) ω να είναι οποιονδήποτε τέτοιο στοιχείο. Χρησιμοποιώντας την επιλεγείσα βάση, μπορούμε να γράψουμε

$\alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}$

Όπου τα a_i1…ip είναι βαθμωτά και τα B_j είναι βοηθητικά στοιχεία της άλγεβρας του Clifford. Παρατηρείστε τώρα ότι το γινόμενο

$\alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .$

Επιλέξτε οποιονδήποτε μη-μηδενικό μονώνυμο a στο ανάπτυγμα του α με μέγιστο ομοιογενή βαθμό στα στοιχεία w_i:

$a=a_{i_{1}\dots i_{max}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{max}}$ (χωρίς να εξυπακούεται άθροιση),

τότε

$w_{i_{max}}\cdots w_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{max}}\omega$

Είναι ένα μη-μηδενικό βαθμωτό πολλαπλάσιο του ω, όπως απαιτείται.

Σημειώστε ότι για άρτιο n , αυτός ο υπολογισμός δείχνει επίσης ότι

$\Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =(\Lambda ^{*}W)\omega$.

ως διανυσματικό διάνυσμα. Στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε και πάλι το ότι το W είναι ισότροπο. Σε όρους φυσικής, αυτό δείχνει ότι το Δ είναι συναρμολογημένο σαν ένα διάστημα Fock δημιουργώντας διανύσματα με μιγαδικές συνιστώσες χρησιμοποιώντας αντι-μεταθετικούς τελεστές δημιουργίας σε W που δρουν πάνω σε ένα κενό ω.

Εξωτερική Δομή άλγεβρας

Οι υπολογισμοί με την ελάχιστη ιδανική δομή εισηγούνται ότι μια παράσταση διανύσματος με μιγαδικές συνιστώσες μπορεί επίσης να καθοριστεί απευθείας χρησιμοποιώντας την εξωτερική άλγεβρα Λ^∗ W = ⊕_j Λ^j W του ισότροπου υποχώρου W. 'Εστω ότι Δ = Λ^∗ W δεικνύει την εξωτερική άλγεβρα του W να θεωρείται ως διανυσματικός χώρος μόνο. Αυτή θα είναι η παράσταση περιδίνησης και τα στοιχεία της θα αναφέρονται ως διανύσματα με μιγαδικές συνιστώσες.

Η δράση της άλγεβρας Clifford στο Δ καθορίζεται πρώτα δίνοντας τη δράση ενός στοιχείου V σε Δ, και μετά δείχνοντας ότι αυτή η δράση σέβεται τη σχέση Clifford και έτσι επεκτείνεται σε ένα ομομορφισμό της πλήρους άλγεβρας του Clifford εντός του δακτυλίου ενδομορφισμού End (Δ) υπό την καθολική ιδιότητα των αλγεβρών Clifford. Οι λεπτομέρειες διαφέρουν ελαφρώς σύμφωνα με το αν η διάσταση του V είναι άρτια ή περιττή. Όταν η διάσταση dim (V) είναι άρτια, V = W ⊕ W′ όπου W′ είναι το επιλεγέν ισότροπο συμπλήρωμα. Ως εκ τούτου, οποιοδήποτε v ∈ V αναλύεται μοναδικά ως v = w + w′ με w ∈ W και w′ ∈ W′. Η δράση του v σε ένα διάνυσμα με μιγαδικές συνιστώσες δίδεται με

$c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=(\epsilon (w)+i(w'))\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)$

όπου i(w′) είναι εσωτερικό γινόμενο με το w′ να χρησιμοποιεί την μη εκφυλισμένη τετραγωνική μορφή για να προσδιορίσει την ταυτότητα του V με V^∗, και το ε(w) δεικνύει το εξωτερικό γινόμενο. Μπορεί να επαληθευτεί ότι

c(u)c(v) + c(v)c(u) = 2 g(u,v),

και έτσι το c σέβεται τις σχέσεις Clifford και επεκτείνεται σε ένα ομομορφισμό από την άλγεβρα Clifford στο End(Δ).

Η παράσταση περιδίνησης Δ περαιτέρω αναλύεται σε ένα ζεύγος αμείωτων σύνθετων αναπαραστάσεων της ομάδας Spin (τις παραστάσεις μισής περιδίνησης, ή διανύσματα με μιγαδικές συνιστώσες Weyl) μέσω

$\Delta _{+}=\Lambda ^{even}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{odd}W$.

Όταν η διάσταση dim(V) είναι περιττή, V = W ⊕ U ⊕ W′, όπου το U εκτείνεται από μια μονάδα διανύσματος u ορθόγωνη προς το W. Η δράση c του Clifford καθορίζεται όπως και προηγουμένως σε W ⊕ W′, ενώ η δράση u του Clifford (πολλαπλάσια) καθορίζεται από

$c(u)\alpha =\left\{{\begin{matrix}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{even}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{odd}W\end{matrix}}\right.$

Όπως πριν,μπορεί κάποιος να επαληθεύσει ότι το c σέβεται τις σχέσεις Clifford και έτσι επιφέρει ένα ομομορφισμό.

Ερμιτιανοί διανυσματικοί χώροι και διανύσματα με μιγαδικές συνιστώσες

Εάν ο διανυσματικός χώρος V έχει επιπλέον δομή η οποία παρέχει μια αποσύνθεση της μιγαδικοποίησης του σε δύο μέγιστα ισότροπα υποδιαστήματα, τότε ο ορισμός των διανυσμάτων με μιγαδικές συνιστώσες (με τη μια ή την άλλη μέθοδο) καθίσταται φυσική. Το κύριο παράδειγμα είναι η περίπτωση όπου ο πραγματικός διανυσματικός χώρος V είναι ένας ερμιτιανός διανυσματικός χώρος (V, h), δηλαδή, το V είναι εξοπλισμένο με μια γραμμική μιγαδική δομή J η οποία είναι ένας ορθογώνιος μετασχηματισμός εν σχέση προς το εσωτερικό γινόμενο g πάνω στον V. Τότε το V ⊗_R C διασπάται στους ιδιόχωρους ±i του J. Αυτοί οι ιδιόχωροι είναι ισότροποι για την μιγαδικοποίηση του g και μπορούν να ταυτοποιηθούν με το μιγαδικό διανυσματικό χώρο (V, J) και τον μιγαδικό συζυγή του (V, −J). Άρα για ένα ερμιτιανό διανυσματικό χώρο (V, h) ο διανυσματικός χώρος Λ⋅
CV (καθώς και ο μιγαδικός συζυγής του Λ⋅
CV) είναι ένας διανυσματικός χώρος με μιγαδικές συνιστώσες για το θεμελιώδη πραγματικό Ευκλείδειο διανυσματικό χώρο. Με τη δράση του Clifford όπως πιο πάνω αλλά με συστολή χρησιμοποιώντας την Ερμιτιανή μορφή, αυτή η δομή δίνει ένα διανυσματικό χώρο με μιγαδικές συνιστώσες σε κάθε σημείο μιας σχεδόν Ερμιτιανής πολλαπλότητας και είναι η αιτία γιατί κάθε σχεδόν μιγαδική πολλαπλότητα (ιδιαίτερα κάθε συμπλεκτική πολλαπλότητα) έχει μια [[περιδινητική δομή ^c]]. Ομοίως, κάθε μιγαδική διανυσματική δέσμη πάνω σε μια πολλαπλότητα φέρει μια περιδινητική δομή ^c .

Η παραγοντοποίηση /διάσπαση Clebsch–Gordan

Ένας αριθμός παραγοντοποιήσεων Clebsch–Gordan είναι πιθανός στο τανυστικό γινόμενο μιας περιδινητικής παράστασης με μια άλλη. Αυτές οι παραγοντοποιήσεις εκφράζουν το τανυστικό γινόμενο αναφορικά με τις εναλλασσόμενες παραστάσεις της ορθόγωνης ομάδας. Για την πραγματική ή σύνθετη περίπτωση, οι εναλλασσόμενες παραστάσεις είναι

• Γ_r = Λ^rV, η παράσταση των ορθογώνιων ομάδων πάνω σε ασύμμετρους τανυστές του βαθμού του r.

Επιπρόσθετα, για τις πραγματικές ορθογώνιες ομάδες υπάρχουν τρεις χαρακτήρες (μονοδιάστατες παραστάσεις)

• σ₊ : O(p, q) → {−1, +1} δίδεται από σ₊(R) = −1, εάν το R αντιστρέφει τον χωρικό προσανατολισμό του V, +1, εάν το R διατηρεί τον χωρικό προσανατολισμό του V. (Ο χωρικός χαρακτήρας.)
• σ₋ : O(p, q) → {−1, +1} δίδεται από σ₋(R) = −1, εάν το R αντιστρέφει τον χρονικό προσανατολισμό του V, +1, εάν το R διατηρεί τον χρονικό προσανατολισμό του V. (Ο χρονικός χαρακτήρας.)
• σ = σ₊σ₋ . (Ο χαρακτήρας προσανατολισμού.)

Η παραγοντοποίηση Clebsch–Gordan επιτρέπει σε κάποιον να ορίσει, ανάμεσα σε άλλα πράγματα:

• Μια δράση διανυσμάτων με μιγαδικές συνιστώσες πάνω σε διανύσματα
• Έναν Ερμιτιανό μετρικό πάνω στις σύνθετες παρουσιάσεις των πραγματικών περιδινητικών ομάδων
• Έναν τελεστή του Dirac σε κάθε περιδινητική παρουσίαση.

Άρτιες διαστάσεις

Εάν το n = 2k είναι άρτιο , τότε το τανυστικό γινόμενο του Δ με την παράσταση της αντί- βαθμίδας αναλύεται ως

$\Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\,\oplus \Gamma _{k}$

Το οποίο μπορεί να φανεί ρητά λαμβάνοντας υπόψη (σε Άμεση δομή) τη δράση της άλγεβρας Clifford πάνω σε παραγοντοποιήσημα (διασπώμενα) στοιχεία αω ⊗ βω′. Η δεξιότερη διατύπωση ακολουθεί από τις μετασχηματιστικές ιδιότητες του Hodge star operator. Σημειώστε ότι με περιορισμό στην άρτια άλγεβρα του Clifford , τα ζευγαρωμένα προσθετέα Γ_p ⊕ σΓ_p είναι ισομορφικά, αλλά σύμφων αμε την πλήρη άλγεβρα του Clifford δεν είναι.. Υπάρχει μια φυσική ταυτοποίηση του Δ με την αντιβαθμιδική παράσταση του μέσω της συζυγίας στην άλγεβρα του Clifford :

$(\alpha \omega )^{*}=\omega (\alpha ^{*}).$

Άρα το Δ ⊗ Δ επίσης αναλύεται με τον πιο πάνω τρόπο . Περαιτέρω, υπό την άρτια άλγεβρα του Clifford οι παραστάσεις μισής – περιδίνησης αναλύονται (παραγοντοποιούνται)

${\begin{matrix}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong &\bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong &\bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{matrix}}$

Για τις μιγαδικές παραστάσεις των πραγματικών αλγεβρών του Clifford, η συσχετισμένη δομή της πραγματικότητας πάνω στην μιγαδική άλγεβρα του Clifford κατέρχεται στο χώρο των διανυσμάτων με μιγαδικές συνιστώσες (μέσω της άμεσης δομής, όσον αφορά ελάχιστα ιδεώδη, για παράδειγμα ). Με αυτό τον τρόπο, παίρνουμε τον μιγαδικό συζυγή Δ της παράστασης Δ και ο ακόλουθος ισομορφισμός βλέπουμε να ισχύει:

${\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}$

Ειδικά, παρατηρήστε ότι η παράσταση Δ της ορθόχρονης περιδινητικής ομάδας είναι μια μοναδιαία παράσταση. Γενικά, υπάρχουν παραγοντοποιήσεις Clebsch–Gordan

$\Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).$

Στη μετρική υπογραφή (p, q), οι ακόλουθοι ισομορφισμοί ισχύουν για τις συζυγείς μισο-περιδινητικές παραστάσεις.

• Εάν το q είναι άρτιο, τότε ${\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}$ and ${\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.$
• Εάν το q είναι περιττό, τότε ${\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}$ and ${\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.$

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους ισομορφισμούς, κάποιος μπορεί να συμπεράνει ανάλογες αναλύσεις για τα τανυστικά γινόμενα των μισο-περιδινητικών παραστάσεων Δ_± ⊗ Δ_±.

Περιττές διαστάσεις

Εάν το n = 2k + 1 είναι περιττό, τότε

$\Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.$

Στην πραγματική περίπτωση, για μια ακόμη φορά ο ισομορφισμός ισχύει

${\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.$

Άρα υπάρχει μια παραγοντοποίηση Clebsch–Gordan (και πάλι χρησιμοποιώντας το Hodge star για να γίνει δυικό) δοσμένη από

$\Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}$

Συμπεράσματα

Υπάρχουν πολλά εκτεταμένα συμπεράσματα των παραγοντοποιήσεων Clebsch–Gordan των χώρων των διανυσμάτων με μιγαδικές συνιστώσες. Το πιο θεμελιώδες από αυτά αρμόζουν στην θεωρία του Dirac για το ηλεκτρόνιο, μεταξύ των οποίων οι βασικές απαιτήσεις είναι

• Ένας τρόπος αναφορικά προς το γινόμενο δύο διανυσμάτων με μιγαδικές συνιστώσες ϕψ σαν ένα βαθμωτό. Σε φυσικούς όρους, ένα διάνυσμα με μιγαδικές συνιστώσες οφείλει να ορίζει μια πιθανότητα εύρους για την κβαντική κατάσταση.
• Ένας τρόπος αναφορικά προς το γινόμενο ψϕ ως ένα διάνυσμα. Αυτό είναι ένα ουσιώδες χαρακτηριστικό της θεωρίας του Dirac, το οποίο δένει το φορμαλισμό του διανύσματος με μιγαδικές συνιστώσες με τη γεωμετρία του φυσικού διαστήματος.
• Ένας τρόπος αναφορικά προς το διάνυσμα με μιγαδικές συνιστώσες όπως δρα πάνω σε ένα διάνυσμα από μια παράσταση όπως ψvψ. Σε φυσικούς όρους, αυτό αντιπροσωπεύει ένα ηλεκτρικό ρεύμα της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας του Maxwell ή γενικότερα ένα ρεύμα πιθανότητας.

Περίληψη σε μικρότερες διαστάσεις

• Στη 1 διάσταση (ένα τετριμμένο παράδειγμα), η παρουσίαση του μονού διανύσματος με μιγαδικές συνιστώσες είναι αυστηρά Majorana, μια πραγματική μονοδιάστατη παρουσίαση η οποία δεν μετασχηματίζεται.
• Στις 2 Ευκλείδειες διαστάσεις,τα αριστερά και τα δεξιά διανύσματα με μιγαδικές συνιστώσες τύπου Weyl είναι μιγαδικές παραστάσεις μιας συνιστώσας δηλαδή μιγαδικοί αριθμοί οι οποίοι πολλαπλασιάζονται με το e^±iφ/2 υπό μια περιστροφή με γωνία φ.
• Στις 3 Ευκλείδειες διαστάσεις, η παράσταση μονού διανύσματος με μιγαδικές συνιστώσες είναι δυσδιάστατη και τετραδική. Η ύπαρξη διανυσμάτων με μιγαδικές συνιστώσες σε 3 διαστάσεις ακολουθεί από τον ισομορφισμό των ομάδων s SU(2) ≅ Spin(3) που μας επιτρέπει να ορίσουμε τη δράση της Δίνης (3) σε μια μιγαδική στήλη 2 συνιστωσών (στοιχείων) (ένα διάνυσμα με μιγαδικές συνιστώσες). Οι γεννήτορες του SU(2) μπορούν να γραφτούν ως Pauli matrices.
• Στις 4 Ευκλείδειες διαστάσεις, ο ισομορφισμός που αντιστοιχεί είναι Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2). Υπάρχουν δύο ανισοδύναμα τετραδικά διανύσματα με μιγαδικές συνιστώσες 2 συνιστωσών (στοιχείων) τύπου Weyl και το καθένα από αυτά μετασχηματίζεται υπό ένα από τους δύο παράγοντες SU(2) μόνο.
• Στις 5 Ευκλείδειες διαστάσεις, ο σχετικός ισομορφισμός είναι Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2) που συνεπάγεται ότι η παράσταση του μονού διανύσματος με μιγαδικές συνιστώσες είναι τετρα- διάστατη και τετραδική.
• Στις 6 Ευκλείδειες διαστάσεις, ο ισομορφισμός Spin(6) ≅ SU(4) εγγυάται ότι υπάρχουν δύο τετρα-διάστατες μιγαδικές παραστάσεις τύπου Weyl οι οποίες είανι μιγαδικοί συζυγείς η μια της άλλης.
• Στις 7 Ευκελίδειες διαστάσεις, η παράσταση του μονού διανύσματος με μιγαδικές συνιστώσες είναι οκτώ-διάστατη και πραγματική. Από αυτή τη διάσταση και μετά δεν υπάρχουν άλλοι ισομορφισμοί προς άλγεβρα Lie από άλλες σειρές (Α ή C).
• Στις 8 Ευκλείδειες διαστάσεις, υπάρχουν δύο πραγματικές, 8-διάστατες παραστάσεις τύπου Weyl–Majorana που σχετίζονται με την 8-διάστατη πραγματική διανυσματική παράσταση υπό μια ειδική ιδιότητα της Δίνης 8 που ονομάζεται δοκιμαστική.
• Στις d + 8 διαστάσεις, ο αριθμός των διακεκριμένων αμείωτων παραστάσεων διανυσμάτων με μιγαδικές συνιστώσες και η πραγματικότητα τους (είτε είναι πραγματικές, είτε ψευδο-πραγματικές ή μιγαδικές ) μιμείται τη δομή των διαστάσεων d , αλλά οι δικές τους διαστάσεις είναι 16 φορές μεγαλύτερες, αυτό επιτρέπει σε κάποιον να αντιληφθεί όλες τις υπόλοιπες περιπτώσεις. Βλέπε περιοδικότητα Bott
• Στους χωρόχρονους με χωρικά p και κατευθύνσεις ισόχρονες του q οι διαστάσεις που βλέπονται ως διαστάσεις πάνω από τους μιγαδικούς αριθμούς συμπίπτουν με την περίπτωση του (p + q)- διαστατικός Ευκλείδειος χώρος αλλά οι προβολές της πραγματικότητας μιμούνται τη δομή σε |p − q| Ευκλείδειες διαστάσεις .Για παράδειγμα, σε 3 + 1 διαστάσεις υπάρχουν δύο μη- ισοδύναμοι μιγαδικοί Weyl (όπως στις 2 διαστάσεις) 2-συνιστώσες (όπως στις 4 διαστάσεις) διανύσματα με μιγαδικές συνιστώσες, που ακολουθεί από τον ισομορφισμό SL(2, C) ≅ Spin(3,1).

Μετρική υπογραφή	Αριστερόχειρο Weyl	Δεξιόχειρο Weyl	Συζυγία	Dirac	Αριστερόχειρο Majorana–Weyl	Δεξιόχειρο Majorana–Weyl	Majorana
	Μιγαδικός	Μιγαδικός		Μιγαδικός	πραγματικός	πραγματικός	πραγματικός
(2,0)	1	1	αμοιβαίος	2	–	–	2
(1,1)	1	1	ταυτοτικός	2	1	1	2
(3,0)	–	–	–	2	–	–	–
(2,1)	–	–	–	2	–	–	2
(4,0)	2	2	ταυτοτικός	4	–	–	–
(3,1)	2	2	αμοιβαίος	4	–	–	4
(5,0)	–	–	–	4	–	–	–
(4,1)	–	–	–	4	–	–	–
(6,0)	4	4	αμοιβαίος	8	–	–	8
(5,1)	4	4	ταυτοτικός	8	–	–	–
(7,0)	–	–	–	8	–	–	8
(6,1)	–	–	–	8	–	–	–
(8,0)	8	8	ταυτοτικός	16	8	8	16
(7,1)	8	8	αμοιβαίος	16	–	–	16
(9,0)	–	–	–	16	–	–	16
(8,1)	–	–	–	16	–	–	16

Δες Ακόμα

• Anyon
• Dirac equation in the algebra of physical space
• Einstein–Cartan theory
• Pure spinor
• Spin-½
• Spinor bundle
• Supercharge
• Twistor theory

Εμβάθυνση στη Μελέτη

• Brauer, Richard; Weyl, Hermann (1935), «Spinors in n dimensions», American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 57 (2): 425–449, doi:10.2307/2371218 .
• Cartan, Élie (1913), «Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicité plane», Bul. Soc. Math. France 41: 53–96, http://archive.numdam.org/article/BSMF_1913__41__53_1.pdf .
• Cartan, Élie (1966), The theory of spinors, Paris, Hermann (reprinted 1981, Dover Publications), ISBN 978-0-486-64070-9 
• Chevalley, Claude (1954), The algebraic theory of spinors and Clifford algebras, Columbia University Press (reprinted 1996, Springer), ISBN 978-3-540-57063-9 .
• Dirac, Paul M. (1928), «The quantum theory of the electron», Proceedings of the Royal Society of London A117: 610–624 .
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, en:Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97495-4 .
• Gilkey, Peter B. (1984), Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah–Singer Index Theorem, Publish or Perish, ISBN 0-914098-20-9, http://www.emis.de/monographs/gilkey/index.html .
• Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations, Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4 .
• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Spinor», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/s086750 
• Hitchin, Nigel J. (1974), «Harmonic spinors», Advances in Mathematics 14: 1–55, doi:10.1016/0001-8708(74)90021-8 .
• Lawson, H. Blaine; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry, Princeton University Press, ISBN 0-691-08542-0 .
• Pauli, Wolfgang (1927), «Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons», Zeitschrift für Physik 43 (9–10): 601–632, doi:10.1007/BF01397326 .
• Penrose, Roger; Rindler, W. (1988), Spinors and Space–Time: Volume 2, Spinor and Twistor Methods in Space–Time Geometry, Cambridge University Press, ISBN 0-521-34786-6 .
• Tomonaga, Sin-Itiro (1998), «Lecture 7: The Quantity Which Is Neither Vector nor Tensor», The story of spin, University of Chicago Press, σελ. 129, ISBN 0-226-80794-0