Θεώρημα Βαρινιόν

Τα μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.

Στην γεωμετρία, το θεώρημα Βαρινιόν δηλώνει ότι σε ένα οποιοδήποτε τετράπλευρο $\mathrm {AB\Gamma \Delta }$ τα μέσα $\mathrm {M} _{1},\mathrm {M} _{2},\mathrm {M} _{3},\mathrm {M} _{4}$ των πλευρών του, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το παραλληλόγραμμο Βαρινιόν.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Πιερ Βαρινιόν που το δημοσίευσε το 1734.

Αποδείξεις

Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα Βαρινιόν. Παρακάτω παραθέτουμε δύο από αυτές.

Οι $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ και $\mathrm {M_{3}M_{4}}$ είναι παράλληλες και ίσες με το μισό της $\mathrm {A\Gamma }$.

Με θεώρημα τομής του Θαλή

Από το θεώρημα τομής του Θαλή στo τρίγωνo $\mathrm {AB\Gamma }$ και αφού $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών, έχουμε ότι

$\mathrm {M_{1}M_{2}} \parallel ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {A\Gamma }$.

Αντίστοιχα, από το τρίγωνο $\mathrm {A\Delta \Gamma }$, έχουμε ότι

$\mathrm {M_{3}M_{4}} \parallel ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {A\Gamma }$.

Επομένως, το τετράπλευρο $\mathrm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}$ έχει δύο πλευρές ίσες και παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο.

Με διανύσματα

Έχουμε ότι

${\vec {\mathrm {M} _{1}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {AB} }}$, ${\vec {\mathrm {M} _{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {B\Gamma } }}$, ${\vec {\mathrm {M} _{3}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {\Gamma \Delta } }}$ και ${\vec {\mathrm {M} _{4}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {\Delta A} }}$.

Επομένως,

${\vec {\mathrm {M_{1}M_{2}} }}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\vec {\mathrm {B\Gamma } }}-{\vec {\mathrm {AB} }})={\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {A\Gamma } }}$,

και

${\vec {\mathrm {M_{3}M_{4}} }}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\vec {\mathrm {\Delta A} }}-{\vec {\mathrm {\Gamma \Delta } }})={\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {A\Gamma } }}$.

Άρα οι πλευρές $\mathrm {M_{1}M_{2}}$ και $\mathrm {M_{3}M_{4}}$ είναι παράλληλες και ίσες. Συνεπώς, το τετράπλευρο $\mathrm {M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}$ είναι παραλληλόγραμμο.

Γενικεύσεις

Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν μελετηθεί σε πολύγωνα και στον τρισδιάστατο χώρο.

Δείτε επίσης

• Μέσο (σημείο)
• Παραλληλόγραμμο
• Θεώρημα τομής του Θαλή