Σύνοψη

Compare with

• 
  marked components

Info

Orbit of critical point tends to period 3 attracting cycle :

• 0.17434140717278*%i-0.23080799291989
• 0.57522120945524*%i-0.087122596659277
• 0.55547045915754*%i-0.4332890929585

Absolute value of multiplier of above cycle is 0.94840556944351

Maxima source code

/*  
this is batch file for Maxima  5.13.0
http://maxima.sourceforge.net/
tested in wxMaxima 0.7.1
using draw package ( interface to gnuplot )
to draw on the screen
----------
draws Julia set for f(z)=z*z+c
using modified IIM
modification: stop reversed iteration 
if pixel was hit in reversed orbit  > HitLimit times
---
draws also critical orbit 
and finds period 
Adam Majewski
*/
c:-0.11+0.65569999*%i;      
/* c:-0.2-0.7*%i;   */
HitLimit:10; /* proportional to number of details and time of drawing */
/* resolution is proportional to number of details and time of drawing */
iXmax:1000;
iYmax:1000;
/* define image size : width:iXmax-0+1;      heght:iYmax-0+1 ;    */
start:elapsed_run_time ();
f(z,c):=z*z+c;
finverseplus(z,c):=sqrt(z-c);
finverseminus(z,c):=-sqrt(z-c);
/* define z-plane ( dynamical ) */
zxMin:-1.6;
zxMax:1.6;
zyMin:-1.6;
zyMax:1.6;
/* */
PixelWidth:(zxMax-zxMin)/iXmax;
PixelHeight:(zyMax-zyMin)/iYmax;
/* 2D array of hits pixels . Hit > 0 means that point was in orbit */
array(Hits,fixnum,iXmax,iYmax); 
/* no hits for beginning */
/* for iX:0 thru iXmax  step 1 do
for iY:0 thru iYmax  step 1 do 
 Hits[iX,iY]:0; */
/* compute fixed points of f(z,c) :   z=f(z,c)   */
fixed:float(rectform(solve([z*z+c=z],[z])));
/* Find which is repelling  */
if (abs(2*rhs(fixed[1]))<1) 
 then block(
  beta:rhs(fixed[1]),
  alfa:rhs(fixed[2])
  ) 
 else block(
  alfa:rhs(fixed[1]),
  beta:rhs(fixed[2])
 );
/* -----------  find period of orbit --------------------------------------*/
z0:0;
iMax:100;
eps:0.01;
/* first point */
z:z0;
orbit:[z];
/* ------------------- compute forward orbit -----------------------------*/
for i:1 thru iMax step 1 do
 block
 (
 z:f(z,c),
 orbit:endcons(z,orbit)
 /* disp(rectform(orbit[i])) */
 );
IsEqual(c1,c2,eps):=
 if  abs(realpart(c1)-realpart(c2))<=eps and abs(imagpart(c1)-imagpart(c2))<=eps
  then true
  else false;
GivePeriod(orbit,eps):=
 block
  (
  period:0,
  iLast:length(orbit),
  i:iLast,
  block
  (
  loop,
  i:i-1,
  if not IsEqual(orbit[iLast],orbit[i],eps) then go(loop),
  period:iLast-i	
  )
 );
period:GivePeriod(orbit,eps);
/*-------------- save orbit to draw it later on the screen ----------------------------- */
/* save the z values to 2 lists */
x0:makelist (realpart(z0), i, 1, 1); /* list of re(z) */
y0:makelist (imagpart(z0), i, 1, 1); /* list of im(z) */
for i:2 thru length(orbit) step 1 do
 block
 (
 x0:cons(realpart(orbit[i]),x0), 
 y0:cons(imagpart(orbit[i]),y0)
 );		   
NumberOfPoints:0;		   
/* choose repeller as a starting point */
/*save beta in stack */
stack:[beta];
/* make 2 list of points and copy beta to  to lists */ 
xx:makelist (realpart(beta), i, 1, 1); /* list of re(z) */
yy:makelist (imagpart(beta), i, 1, 1); /* list of im(z) */
NumberOfPoints:1;
/* reversed iteration of beta */
block
(
 loop,
 /* pop = take one point from the stack */
 z:last(stack),
 stack:delete(z,stack),
 /*inverse iteration - first preimage (root) */
 z:finverseplus(z,c),
 /* translate from world to screen coordinate */
 iX:fix((realpart(z)-zxMin)/PixelWidth),
 iY:fix((imagpart(z)-zyMin)/PixelHeight),
 hit:Hits[iX,iY],
 if hit<HitLimit   
  then 
   block(
   Hits[iX,iY]:hit+1,
   stack:endcons(z,stack), /* push = add z at the end of list stack */
   if hit=0 then block( xx:cons(realpart(z),xx), yy:cons(imagpart(z),yy)),
   NumberOfPoints:NumberOfPoints+1
   ),
  /*inverse iteration - second preimage (root) */
  z:-z,
  /* translate from world to screen coordinate, coversion to integer */
  iX:fix((realpart(z)-zxMin)/PixelWidth),
  iY:fix((imagpart(z)-zyMin)/PixelHeight),
  hit:Hits[iX,iY],
  if hit<HitLimit   
   then 
    block(
     Hits[iX,iY]:hit+1,
     stack:endcons(z,stack), /* push = add z at the end of list stack to continue iteration */
     if hit=0 then block( xx:cons(realpart(z),xx), yy:cons(imagpart(z),yy)), /* draw point */
     NumberOfPoints:NumberOfPoints+1
    ),
  if is(not emptyp(stack)) then go(loop) 
);
stop:elapsed_run_time ();
t:fix(stop-start);
/* draw reversed orbit of beta  using draw package */
load(draw);
draw2d(
file_name = "miimcr_",
terminal  = 'png,
pic_width  = iXmax,
pic_height = iYmax,
yrange = [zyMin,zyMax],
xrange = [zxMin,zyMax],
title= "Julia set in dynamical plane for f(z,c):=z*z+c drawn using MIIM",
label ([concat("c=",string(c),";  Period=",string(period),". Resoution=",string(iXmax),
 " Time=",string(t),"HitLimit=",string(HitLimit)),0.0,-1.5]),
xlabel     = "Z.re ",
ylabel     = "Z.im",
point_type    = filled_circle,
point_size    = 0.3,
color         = black,
key = concat(string(NumberOfPoints)," points of Julia set."),
points(xx,yy),
color		  =red,
point_size    = 0.3,
key = concat("Points of critical orbit"),
points(x0,y0)
);

References

1. ↑ Mandelbrot Set Chaos by JC Sprott

Αδειοδότηση

Εγώ, ο κάτοχος των πνευματικών δικαιωμάτων αυτού του έργου, το δημοσιεύω δια του παρόντος υπό τις εξής άδειες χρήσης:

Παραχωρείται η άδεια προς αντιγραφή, διανομή και/ή τροποποίηση αυτού του εγγράφου υπό τους όρους της Άδειας Ελεύθερης Τεκμηρίωσης GNU, Έκδοση 1.2 ή οποιασδήποτε νεότερης έκδοσης δημοσιευμένης από το Ίδρυμα Ελεύθερου Λογισμικού· χωρίς Απαράλαχτους Τομείς, χωρίς Κείμενα Εξωφύλλου, και χωρίς Κείμενα Οπισθοφύλλου. Αντίγραφο της άδειας περιλαμβάνεται στην σελίδα με τίτλο GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

This file is licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International, 3.0 Unported, 2.5 Generic, 2.0 Generic and 1.0 Generic license.

Είστε ελεύθερος:

• να μοιραστείτε – να αντιγράψετε, διανέμετε και να μεταδώσετε το έργο
• να διασκευάσετε – να τροποποιήσετε το έργο

Υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

• αναφορά προέλευσης – Θα πρέπει να κάνετε κατάλληλη αναφορά, να παρέχετε σύνδεσμο για την άδεια και να επισημάνετε εάν έγιναν αλλαγές. Μπορείτε να το κάνετε με οποιοδήποτε αιτιολογήσιμο λόγο, χωρίς όμως να εννοείται με οποιονδήποτε τρόπο ότι εγκρίνουν εσάς ή τη χρήση του έργου από εσάς.
• παρόμοια διανομή – Εάν αλλάξετε, τροποποιήσετε ή δημιουργήσετε πάνω στο έργο αυτό, μπορείτε να διανείμετε αυτό που θα προκύψει μόνο υπό τους όρους της ίδιας ή συμβατής άδειας με το πρωτότυπο.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0CC BY-SA 4.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 truetrue

Μπορείτε να επιλέξετε την άδεια της προτίμησής σας.