Τύπος του Ήρωνα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Έστω τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Από το ημιάθροισμά τους υπολογίζετε η ημιπερίμετρος , που χρησιμοποιείται στον τύπο του Ήρωνα.

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο τύπος του Ήρωνα δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών , και έχει εμβαδό [1][2][3][4][5]

,

όπου είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή:

.

Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον Ήρων. Ο τύπος του Ήρωνα γενικεύεται για όλα τα πολύγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο.

Απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τρίγωνο με πλευρές , κορυφές και το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή .

Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής:

Έστω ένα τρίγωνο με πλευρές , , και , , οι απέναντί τους γωνίες. Εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων για την γωνία έχουμε ότι:

.

Από την σχέση του ημιτόνου και του συνημιτόνου έχουμε ότι:

.

Χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων έχουμε ότι:

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα , προκύπτει ότι:

Χρησιμοποιώντας πάλι την διαφορά τετραγώνων έχουμε ότι

Το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά έχει μήκος

και έτσι έχουμε ότι

,

που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Γενικεύσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τύπος Βραχμαγκούπτα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ο τύπος Βραχμαγκούπτα γενικεύει αυτόν τον τύπο για τον εμβαδόν οποιουδήποτε εγγράψιμου τετρατπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, για ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές και ημιπερίμετρο , το εμβαδόν του είναι ίσο με

Τύπος Bretschneider[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κύριο λήμμα: Τύπος Bretschneider

Ο τύπος Bretschneider δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο σχήμα με πλευρές και γωνίες ως

.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ελληνικά άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Παπαδάτος Ιωάννης (1976). «Ο τύπος του Ήρωνα είναι του Αρχιμήδη». Ευκλείδης Β΄ (5): 5-6. 
  • Ν. Κισκύρας (1980). «Αριθμητικές Τετράδες του Ήρωνα - Ηρώνεια Τρίγωνα». Ευκλείδης Β΄ (3): 8-9. 

Ξενόγλωσσα άρθρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής κατευθύνσεως) Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 39–46. 
  2. Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία Δ',Ε',ΣΤ' Γμνασίου Θετικής Κατευθύνσεως. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 137–139. 
  3. Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. σελ. 98. ISBN 978-960-493-159-0. 
  4. Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία 1. Ι. Χιωτέλη. 
  5. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. σελίδες 461–463.