Ισόπλευρο τρίγωνο

Στη γεωμετρία, ισόπλευρο τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Στην ευκλείδεια γεωμετρία, ένα ισόπλευρο τρίγωνο εκτός από όλες τις πλευρές του, έχει και όλες τις γωνίες του ίσες, με μέτρο 60° η καθεμιά.^[1]^:37^[2]^:57^[3]^:54 Αποτελεί ένα από τα κανονικά πολύγωνα και για αυτό αναφέρεται και ως κανονικό τρίγωνο.

Ιδιότητες[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους με μέτρο 60°.
Το έγκεντρο, το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και το βαρύκεντρο ταυτίζονται.^[1]^: 83
Η ευθεία του Euler είναι ένα σημείο.^[1]^: 83

Μετρικές σχέσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Έστω $\alpha$ το μήκος της πλευράς του ισόπλευρου:

Το ύψος του έχει μήκος:

u={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{2}}

.

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:

R={\frac {2}{3}}\cdot u={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{3}}

.

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι ίση με:

\rho ={\frac {1}{3}}\cdot u={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{6}}

.

Οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων είναι ίσες με:

\rho _{\mathrm {A} }=\rho _{\mathrm {B} }=\rho _{\mathrm {\Gamma } }={\frac {\alpha \cdot {\sqrt {3}}}{2}}

.

Εμβαδόν[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το εμβαδόν του ισόπλευρου τριγώνου δίνεται από τον τύπο:

\mathrm {E} ={\frac {a^{2}\cdot {\sqrt {3}}}{4}}

.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χαράζουμε μία ευθεία $\epsilon$ στο επίπεδο.
Διαγράφουμε έναν κύκλο $C_{1}$ με κέντρο πάνω στην ευθεία.
Έστω $\mathrm {T} _{1}$ ένα από τα δύο σημεία τομής του $C_{1}$ και της $\epsilon$ .
Διαγράφουμε έναν δεύτερο κύκλο $C_{2}$ με την ίδια ακτίνα και κέντρο το $\mathrm {T} _{1}$ .
Έστω $\mathrm {T} _{2}$ και $\mathrm {T} _{3}$ τα σημεία τομής αυτών των κύκλων.
Το τρίγωνο $\mathrm {T_{1}T_{2}T_{3}}$ είναι ισόπλευρο.

Σχετικά θεωρήματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα τριχοτόμων του Μόρλεϊ δηλώνει ότι σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ τα σημεία τομής των τριχοτόμων των γωνιών του τριγώνου δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Θεώρημα van Schooten[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα van Schooten λέει ότι για οποιοδήποτε σημείο $\mathrm {P}$ του περιγεγραμμένου κύκλου ενός ισόπλευρου τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ , ισχύει ότι η μεγαλύτερη απόσταση από τις κορυφές του ισούται με το άθροισμα των αποστάσεων από τις άλλες δύο.

Θεώρημα Βιβιάνι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα Βιβιάνι λέει ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ και για $\mathrm {P}$ ένα τυχόν εσωτερικό του σημείο, ισχύει ότι

d_{1}+d_{2}+d_{3}=u

,

όπου $d_{1},d_{2},d_{3}$ οι αποστάσεις του $\mathrm {P}$ από τις πλευρές του τριγώνου και $u$ το ύψος του τριγώνου.

Θεώρημα του Ναπολέοντα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το θεώρημα Ναπολέοντα δηλώνει ότι σε κάθε τρίγωνο τα κέντρα των (εξωτερικών ή εσωτερικών) ισοπλεύρων τριγώνων στις πλευρές του τριγώνου δημιουργούν ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Σχετικά προβλήματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τρίγωνο με μέγιστο εμβαδό[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Για μία δοσμένη περίμετρο, το τρίγωνο με το μέγιστο εμβαδό είναι το ισόπλευρο τρίγωνο. Αυτό είναι μία μορφή της ισοπεριμετρικής ανισότητας.

Ισόπλευρο εγγεγραμμένο σε τετράγωνο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνο.

Υπάρχουν άπειρα ισόπλευρα τρίγωνα εγγεγραμμένα σε τετράγωνα. Δύο αξιοσημείωτα δίνονται στο πλαϊνό σχήμα. Το ισόπλευρο σε γωνία $15^{o}$ είναι αυτό που μεγιστοποιεί το εμβαδόν του τριγώνου για δοσμένο τετράγωνο.^[4]^[5]

Πακετάρισμα κύκλων[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα πρόβλημα που έχει μελετηθεί στη βιβλιογραφία είναι η εύρεση του μικρότερου ισόπλευρου τριγώνου που να χωράει έναν δοσμένο αριθμό από μοναδιαίους κύκλους.^[6]^[7]

Πλακόστρωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα ισόπλευρα τρίγωνα μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να πλακοστρώσουν το επίπεδο.

Σχετικά σχήματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τρίγωνο με γωνίες 90-60-30[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το ορθογώνιο τρίγωνο με γωνίες 30° και 60°, έχει τις εξής ιδιότητες:

Η κάθετη πλευρά που αντιστοιχεί στην γωνία 60° είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας.
Το τρίγωνο $\mathrm {AMB}$ είναι ισόπλευρο.
Τα μήκη των πλευρών είναι ανάλογα στα $1$ , ${\sqrt {3}}$ και $2$ .

Κανονικό εξάγωνο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε έξι ισόπλευρα τρίγωνα.

Κανονικό τετράεδρο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κάθε έδρα στο κανονικό τετράεδρο είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Δείτε επίσης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων.
↑ Bogomolny, Alexander. «Fold Square into Equilateral Triangle». Cut-the-Knot. Ανακτήθηκε στις 2 Σεπτεμβρίου 2023.
↑ Καρδαμίτσης, Σπύρος; Σωτηρόπουλος, Νίκος (Οκτώβριος 2013). «Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων». Ευκλείδης Β΄ (90): 71-74. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T90.pdf.
↑ Melissen, Hans (1993), «Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle», The American Mathematical Monthly 100 (10): 916–925, doi:10.2307/2324212
↑ Melissen, J. B. M.; Schuur, P. C. (1995), «Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle», Discrete Mathematics 145 (1–3): 333–342, doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C, https://research.utwente.nl/en/publications/packing-16-17-of-18-circles-in-an-equilateral-triangle(b2172f19-9654-4ff1-9af4-59da1b6bef3d).html

[Tav-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[T57-2] Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

[N73-3] Νικολάου, Νικόλαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. 1973: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων.

[4] Bogomolny, Alexander. «Fold Square into Equilateral Triangle». Cut-the-Knot. Ανακτήθηκε στις 2 Σεπτεμβρίου 2023.

[5] Καρδαμίτσης, Σπύρος; Σωτηρόπουλος, Νίκος (Οκτώβριος 2013). «Εμβαδά ευθυγράμμων σχημάτων». Ευκλείδης Β΄ (90): 71-74. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/publications/issues_files/EYKLEIDHS_B_T90.pdf.

[Melissen-6] Melissen, Hans (1993), «Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle», The American Mathematical Monthly 100 (10): 916–925, doi:10.2307/2324212

[7] Melissen, J. B. M.; Schuur, P. C. (1995), «Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle», Discrete Mathematics 145 (1–3): 333–342, doi:10.1016/0012-365X(95)90139-C, https://research.utwente.nl/en/publications/packing-16-17-of-18-circles-in-an-equilateral-triangle(b2172f19-9654-4ff1-9af4-59da1b6bef3d).html

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]