Νόμος του Χουκ

Ο νόμος του Χουκ ή νόμος της ελαστικότητας περιγράφει την ελαστικότητα ενός υλικού ή συστήματος, όταν αυτό παραμορφώνεται υπό την επίδραση εξωτερικής δύναμης. Φέρει το όνομα του Άγγλου φυσικού Ρόμπερτ Χουκ που εξήγαγε πειραματικά αυτόν τον νόμο. Σύμφωνα με τον νόμο του Χουκ, η επιμήκυνση ενός ελατηρίου είναι ανάλογη της δύναμης που ασκείται στο ελατήριο. Με άλλα λόγια:

$F=kx\ \ \$

όπου :

• F είναι η δύναμη που ασκείται στο ελατήριο
• k η σταθερά του εκάστοτε ελατηρίου και
• x η επιμήκυνση του ελατηρίου (η μετατόπιση από τη θέση φυσικού μήκους)

H έκφραση του Νόμου του Χουκ στις τρεις διαστάσεις μπορεί να γραφεί σε τανυστική μορφή. Σε ένα αυθαίρετο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, τα διανύσματα της δύναμης και της μετατόπισης μπορούν να παρασταθούν από μητρώα πραγματικών αριθμών διάστασης 3 × 1. Τότε, αυτά τα μεγέθη θα σχετιστούν μέσω ενός τανυστή, που παριστάνεται ως μητρώο πραγματικών συντελεστών διάστασης 3 × 3, το οποίο όταν πολλαπλασιαστεί με το διάνυσμα μετατόπισης, δίνει το διάνυσμα της ασκούμενης δύναμης:

$$\mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\boldsymbol {\mathrm {K} }}\mathbf {x}$$

Δηλαδή, η i-οστή συνιστώσα της δύναμης F υπολογίζεται ως:

$$F_{i}=\kappa _{i1}x_{1}+\kappa _{i2}x_{2}+\kappa _{i3}x_{3}$$

για i = 1, 2, 3.

Συνεπώς, ο νόμος του Χουκ F = Kx μπορεί να θεωρηθεί, ότι ισχύει, όταν τα διανύσματα x και F έχουν μεταβλητές κατευθύνεις με τη διαφορά, ότι η σκληρότητα ενός αντικειμένου περιγράφεται με έναν δι-διάστατο τανυστή K, παρά με ένα βαθμωτό, πραγματικό αριθμό k.

Σε όρους παραμορφώσιμων, συνεχών μέσων και στην περίπτωση ενός γραμμικά ελαστικού, ομογενούς και ισότροπου υλικού ο γενικευμένος Νόμος του Χουκ στις τρεις διαστάσεις γράφεται ως:

$\epsilon _{x}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]+\alpha \Delta T$

$\epsilon _{y}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})]+\alpha \Delta T$

$\epsilon _{z}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]+\alpha \Delta T$

όπου:

• $\epsilon _{i}\,$ είναι η ορθή ανηγμένη παραμόρφωση (τροπή), που ισούται με το λόγο της αξονικής παραμόρφωσης ως προς το αρχικό μήκος στον άξονα i,
• $\ E$ είναι το μέτρο ελαστικότητας του Young για το υλικό,
• $\sigma _{i}\,$ είναι η ορθή τάση στον άξονα i,
• $\ \nu$ είναι ο λόγος του Poisson του υλικού, που ισούται με τον αρνητικό λόγο της εγκάρσιας τροπής προς την αξονική τροπή για κάθε άξονα,
• $\ \alpha$ είναι ο συντελεστής θερμικής διαστολής του υλικού και
• $\ \Delta T$ είναι η θερμοκρασιακή μεταβολή.

Για περισσότερα, δείτε στο λήμμα Θεωρία ελαστικότητας.

Η δυναμική ενέργεια U στη μονοδιάστατη περίπτωση του ελατηρίου δίνεται από τον τύπο:

$U={1 \over 2}kx^{2}$

Συχνά μιλάμε για δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, του σώματος ή του συστήματος σώμα-ελατήριο, εννοώντας την ίδια πάντα ποσότητα: είναι η ενέργεια που μπορεί να μεταφέρει σε ελεύθερο σώμα μάζας $m$, ένα πεδίο δύναμης, το οποίο περιγράφεται από τον Νόμο του Χουκ.

Σταθερά ελατηρίου

Η σταθερά ελατηρίου, γνωστή και σαν σταθερά του Χουκ, εκφράζει τη σκληρότητα ενός ελατηρίου και εξαρτάται από:

1. το μήκος του ελατηρίου,
2. το πάχος του σύρματος του ελατηρίου,

1. το άνοιγμα (διάμετρο) των σπειρών του ελατηρίου,
2. το υλικό και τη θερμοκρασία του σύρματος του ελατηρίου και
3. την απόσταση μεταξύ των σπειρών («βήμα») του ελατηρίου

Μονάδα μέτρησης της σταθεράς ελατηρίου στο Διεθνές Σύστημα (SI) είναι το Νιούτον/Μέτρο (N/m).

Νόμος του Χουκ στη θεωρητική μηχανική

Προσέγγιση του δυναμικού (1-e^-(x-1))² (μπλε) με το αρμονικό δυναμικό (x-1)² (κόκκινο) γύρω από το σημείο ισορροπίας x=1.

Ο νόμος του Χουκ δεν ισχύει μόνο για μηχανικά ελατήρια. Αντιθέτως, ο συγκεκριμένος νόμος δύναμης ισχύει στις περιοχές ευσταθούς ισορροπίας οποιουδήποτε δυναμικού.

Απόδειξη:

Έστω μονοδιάστατο δυναμικό V(x), το οποίο παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο σε κάποιο σημείο x₀ που ανήκει στο πεδίο ορισμού του. Αναπτύσσοντας το δυναμικό σε δυναμοσειρά γύρω από το x₀:

$V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})x+{\frac {1}{2}}V''(x_{0})x^{2}+...$

Στη γειτονιά του σημείου x₀ το δυναμικό μπορεί να προσεγγιστεί από τους πρώτους όρους του αναπτύγματος, ήτοι

$V(x)\approx V(x_{0})+V'(x_{0})x+{\frac {1}{2}}V''(x_{0})x^{2}$

Επιλέγοντας σύστημα αναφοράς έτσι ώστε V(x₀)=0 και x₀=0 (κάτι που μπορούμε πάντα να κάνουμε με κατάλληλη επιλογή των αξόνων αναφοράς), η παραπάνω έκφραση απλοποιείται περαιτέρω αναγνωρίζοντας επίσης το γεγονός ότι V’(x₀)=0 (η V(x₀) παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο αυτό). Συγκεκριμένα,

$V(x)\approx {\frac {1}{2}}V''(0)x^{2}={\frac {1}{2}}kx^{2},\ k=V''(0)$

Η αντίστοιχη δύναμη που προκαλεί το παραπάνω δυναμικό ισούται με

$F=-{\frac {dV}{dx}}=-kx$

που είναι ακριβώς ο νόμος του Χουκ με k=V”(0). Συνεπώς, ο νόμος του Χουκ είναι εντελώς γενικός και ισχύει για κίνηση κοντά σε οποιοδήποτε σημείο ευσταθούς ισορροπίας τυχαίου δυναμικού V(x). Υπό το φως της παραπάνω μαθηματικής ανάλυσης, η «σταθερά ελατηρίου» k αποκτά καθαρά μαθηματικό χαρακτήρα, ενώ η τιμή του εξαρτάται από την ακριβή μορφή του δυναμικού.

Πηγές

• Καίσαρ Δ. Αλεξόπουλος Φυσική. Τ. Α΄ Μηχανική, Αθήνα, 1971
• Κανάρης Χ. Τσίγκανος (2004). Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική. Εκδόσεις Σταμούλη.