Σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Ένα γραμμικό σύστημα τριών μεταβλητών καθορίζει μια συλλογή επιπέδων. Το σημείο τομής είναι η λύση.

Σύστημα γραμμικών εξισώσεων ή αλλιώς γραμμικό σύστημα είναι ένα σύνολο από γραμμικές εξισώσεις με τους ίδιους αγνώστους, τους οποίους προσπαθούμε να υπολογίσουμε έτσι ώστε να επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις. Για παράδειγμα, το

${\begin{array}{lcl}3x+5y=-2\\2x-7y=9\end{array}}$

είναι ένα σύστημα 2 γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους. Λύση του συστήματος ονομάζουμε τις τιμές που πρέπει να πάρουν οι μεταβλητές έτσι ώστε να επαληθεύουν ταυτόχρονα τις δύο εξισώσεις. Για παράδειγμα στο παραπάνω σύστημα η λύση είναι $x=1,\;y=-1$. Η μελέτη και επίλυση των γραμμικών συστημάτων είναι ένα βασικό κομμάτι της Γραμμικής Άλγεβρας.

Γενική μορφή

Ένα γραμμικό σύστημα με $m$ γραμμικές εξισώσεις και $n$ αγνώστους έχει τη μορφή

${\begin{array}{lcl}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\dots +a_{1,n}x_{n}&=b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\dots +a_{2,n}x_{n}&=b_{2}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\dots +a_{m,n}x_{n}&=b_{n}\end{array}}$

όπου οι $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ είναι οι άγνωστοι, οι $a_{1,1},a_{1,2},\dots ,a_{m,n}$ είναι οι συντελεστές του συστήματος και $b_{1},b_{2},\dots ,b_{m}$ είναι οι σταθεροί όροι του συστήματος. Οι συντελεστές και οι σταθεροί όροι θεωρείται ότι ανήκουν σε ένα σώμα $F$, το οποίο συνήθως είναι το $\mathbb {R}$ (το σύνολο των πραγματικών αριθμών) ή το $\mathbb {C}$ (το σύνολο των μιγαδικών αριθμών). Μπορούμε να δούμε ένα τέτοιο σύστημα ως έναν γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων όπου οι άγνωστοι είναι οι συντελεστές:

$x_{1}\left({\begin{matrix}a_{1,1}\\a_{2,1}\\\vdots \\a_{m,1}\end{matrix}}\right)+x_{2}\left({\begin{matrix}a_{1,2}\\a_{2,2}\\\vdots \\a_{m,2}\end{matrix}}\right)+\cdots +x_{n}\left({\begin{matrix}a_{1,n}\\a_{2,n}\\\vdots \\a_{m,n}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)$.

Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε εργαλεία διανυσματικών χώρων. Για παράδειγμα, τα διανύσματα που βρίσκονται στο αριστερό μέρος της εξίσωσης ορίζουν ένα διανυσματικό χώρο. Το σύστημα θα έχει λύση αν το διανύσμα που βρίσκεται στο δεξί μέλος της εξίσωσης ανήκει και αυτό στον ίδιο διανυσματικό χώρο. Χρησιμοποιώντας συμβολισμό πινάκων, το σύστημα μπορεί να γραφεί πιο κομψά ως εξής:

$Ax=b$

όπου ο $A$ είναι ένας πίνακας $m\times n$, ενώ τα $x,\;b$ είναι διανύσματα με $n$ συντεταγμένες:

$A=\left({\begin{matrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\dots &a_{m,n}\end{matrix}}\right),\;x=\left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{matrix}}\right),\;b=\left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{matrix}}\right)$.

Σύνολο Λύσεων

Λύση ενός γραμμικού συστήματος ονομάζουμε τις ομάδες τιμών που αν αντικατασταθούν στις μεταβλητές επαληθεύουν όλες τις εξισώσεις ταυτόχρονα. Το σύνολο όλων των δυνατών λύσεων καλείται σύνολο λύσεων του συστήματος. Ένα σύστημα μπορεί

1. να έχει μια μοναδική λύση
2. να έχει άπειρες λύσεις
3. να είναι αδύνατο, δηλαδή να μην έχει καμμιά λύση.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων δύο μεταβλητών

Η πιο απλή περίπτωση γραμμικού συστήματος είναι όταν έχουμε δύο άγνωστες μεταβλητές. Για παράδειγμα ένα σύστημα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους παίρνει τη μορφή:

$ax+by=c$

$a'x+b'y=c'$

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί να είναι αδύνατο (καμιά λύση), να έχει μοναδική λύση ή να είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). Υπάρχουν τρεις απλοί τρόποι αντιμετώπισης ενός τέτοιου γραμμικού συστήματος.

Γραφική μέθοδος

Οι δύο εξισώσεις του συστήματος ως γνωστόν παριστάνουν ευθείες. Ζωγραφίζουμε τις ευθείες αυτές στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Υπάρχουν τρεις δυνατές περιπτώσεις:

(α) Αν οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση, τη δυάδα που δίνεται από τις συντεταγμένες του σημείου τομής. Οι ευθείες τέμνονται όταν

${\frac {a}{b}}\not ={\frac {a'}{b'}}$

(β) Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Οι ευθείες είναι παράλληλες όταν έχουν την ίδια κλίση, δηλαδή όταν:

${\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}$ και ${\frac {c}{b}}\not ={\frac {c'}{b'}}$

(γ) Αν οι ευθείες ταυτίζονται, τότε το σύστημα είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις. Οι ευθείες ταυτίζονται όταν μπορούμε να κάνουμε πράξεις και να καταλήξουμε σε ισοδύναμο σύστημα που θα έχει

${\frac {a}{b}}={\frac {a'}{b'}}$ και ${\frac {c}{b}}={\frac {c'}{b'}}$

Μέθοδος αντικατάστασης

Επιλέγουμε την πιο "απλή" οπτικά εξίσωση (δηλαδή με τους μικρότερους συντελεστές αγνώστων) και απομονώνουμε τον έναν από τους δύο αγνώστους στο ένα μέλος:

$x={\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}y$

Αυτό που βρίσκουμε το βάζουμε στην άλλη εξίσωση αντί του αγνώστου και προκύπτει μία πρωτοβάθμια εξίσωση, με έναν άγνωστο μόνο, τον y, ο οποίος υπολογίζεται με απλές αλγεβρικές πράξεις, και βρίσκεται να ισούται με

$y={\frac {ac'-a'c}{ab'-a'b}}$

Τα a, b, c, a', b, c, είναι όλα γνωστοί σταθεροί αριθμοί, δηλαδή το y θα είναι και αυτό πλέον αριθμός. Βάζοντας την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση, υπολογίζουμε τέλος και το x:

$x={\frac {b'c-bc'}{ab'-a'b}}$

Για να έχουν νόημα οι παραπάνω υπολογισμοί, πρέπει οι παρονομαστές που προέκυψαν στο τέλος να μην είναι μηδέν. Διακρίνουμε λοιπόν τις παρακάτω τρεις περιπτώσεις:

(α) Αν $ab'\not =a'b$, τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση:

$x={\frac {b'c-bc'}{ab'-a'b}}$ και $y={\frac {ac'-a'c}{ab'-a'b}}$

(β) Αν $ab'=a'b$ και είτε $cb'\not =c'b$ είτε $ac'\not =a'c$, τότε το σύστημα είναι αδύνατο. Επίσης, όταν όλοι οι συντελεστές είναι μηδέν και τουλάχιστον ένας από τους σταθερούς όρους δεν είναι μηδέν, το σύστημα είναι πάλι αδύνατο.

(γ) An $ab'=a'b$, $cb'=c'b$ και $ac'=a'c$, τότε το σύστημα είναι αόριστο.

Μέθοδος αντίθετων συντελεστών

Με τη μέθοδο αυτή επιδιώκουμε να εμφανίσουμε στις δύο εξισώσεις αντίθετους συντελεστές για έναν από τους αγνώστους, έτσι ώστε να τον απαλείψουμε κατόπιν με πρόσθεση κατά μέλη.

Συγκεκριμένα, το αρχικό σύστημα

$ax+by=c$

$a'x+b'y=c'$

δίνει, μετά από τον πολλαπλασιασμό της πρώτης εξίσωσης με (a') και της δεύτερης με (-a), το ισοδύναμο σύστημα

$aa'x+a'by=a'c$

$-aa'x-ab'y=-ac'$

Η πρόσθεση κατά μέλη δίνει

$(a'b-ab')y=a'c-ac'\Rightarrow y={\frac {a'c-ac'}{a'b-ab'}}$

Με την ίδια διαδικασία όπως και στην προηγούμενη μέθοδο προσδιορίζουμε και τον άλλο άγνωστο:

$x={\frac {b'c-bc'}{ab'-a'b}}$

Διακρίνουμε κατόπιν στις ίδιες περιπτώσεις που είχαμε και στην προηγούμενη μέθοδο.

Συστήματα γραμμικών ανισώσεων δύο μεταβλητών

Ένα σύστημα γραμμικών ανισώσεων μπορεί επίσης να είναι αδύνατο (καμιά λύση), μπορεί να έχει πολλές δυάδες λύσεων (μία, δύο, τρεις…) ή μπορεί να είναι αόριστο (άπειρες λύσεις). Τα συστήματα γραμμικών ανισώσεων του τύπου

$ax+by>c$

$a'x+b'y>c'$

μπορούμε να τα αντιμετωπίσουμε απλά με τη γραφική μέθοδο.

Γραφική μέθοδος

Για κάθε ανίσωση του συστήματος βρίσκουμε την αντίστοιχη εξίσωση

$ax+by=c$ και $a'x+b'y=c'$

Όπως και πριν, οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο ευθείες. Σχεδιάζουμε τις ευθείες στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Διαλέγουμε ένα σημείο $M(x_{0},y_{0})$ έξω από τις ευθείες (προτιμάμε ένα σημείο με "εύκολες" συντεταγμένες, συνήθως το (0,0)) και ελέγχουμε αν επαληθεύει τις ανισώσεις. Για κάθε ανίσωση που επαληθεύει, "σβήνουμε" (γραμμοσκιάζουμε) το ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το Μ. Αλλιώς "σβήνουμε" το ημιεπίπεδο που περιέχει το Μ. Η περιοχή του επιπέδου που παραμένει "καθαρή" είναι και το σύνολο των λύσεων του συστήματος.

Γραμμικά συστήματα περισσότερων μεταβλητών

Στην γενική περίπτωση, όπου έχουμε περισσότερες άγνωστες μεταβλητές, εφαρμόζουμε συνήθως μεθόδους γραμμικής άλγεβρας (π.χ. τον αλγόριθμο απαλοιφής του Gauss - που αποτελεί γενίκευση της μεθόδου των αντιθέτων συντελεστών), και συγκεκριμένα θεωρίας πινάκων ή γραμμικού προγραμματισμού (μέθοδος σίμπλεξ).

Δείτε επίσης

• Γραμμικός προγραμματισμός
• Μη γραμμικό σύστημα

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Σημειώσεις στα γραμμικά συστήματα πολλών μεταβλητών
• Κεφάλαιο 6 - Συστήματα, Σχολικό Βιβλίο Α΄ Λυκείου, έκδοση 2010 (ίδιο με το κεφάλαιο 1 του βιβλίου της Β΄ Λυκείου - έκδοση 2017)
• Σημειώσεις Γραμμικής Άλγεβρας Αρχειοθετήθηκε 2017-11-17 στο Wayback Machine., πανεπιστήμιο Αιγαίου.
• MathStudies Blog, Σημειώσεις στα Γραμμικά Συστήματα.

Ελληνικά άρθρα

• Κωστοπούλου, Καλλιόπη (Ιανουάριος 2021). «Συστήματα γραμμικών εξισώσεων». Ευκλείδης Α΄ (119): 22-28. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_119_EYKLEIDHS_2021.pdf. 
• Κυλάφης, Παναγιώτης; Τριανταφύλλου, Ανδρέας (Ιανουάριος 2023). «Επίλυση γραμμικών εξισώσεων». Ευκλείδης Α΄ (127): 33-38. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_A_t127_2023.pdf. 

Βιβλιογραφία

• Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th έκδοση), New York: Wiley|, ISBN 0-471-84819-0 
• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Numerical Analysis (5th έκδοση), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3, https://archive.org/details/numericalanalysi00burd 
• Cullen, Charles G. (1990), Matrices and Linear Transformations, MA: Dover, ISBN 978-0-486-66328-9 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd έκδοση), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8 
• Harper, Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9 
• Harrow, Aram W.; Hassidim, Avinatan; Lloyd, Seth (2009), «Quantum Algorithm for Linear Systems of Equations», Physical Review Letters 103 (15): 150502, doi:10.1103/PhysRevLett.103.150502, PMID 19905613 
• Sterling, Mary J. (2009), Linear Algebra for Dummies, Indianapolis, Indiana: Wiley, ISBN 978-0-470-43090-3 
• Whitelaw, T. A. (1991), Introduction to Linear Algebra (2nd έκδοση), CRC Press, ISBN 0-7514-0159-5